Geschlossener Ausdruck *n

Question

Hallo.

Ich schaue mir gerade alte Klausuraufgaben zu Analysis II an. Eine lautet:

Auf dem Intervall (-1,1) gilt $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=\frac{1}{1+x^2}, x \in (-1,1)$$.
Berechnen Sie einen geschlossenen Ausdruck für $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n nx^{2n}$$.

Das Beispiel kann ich nachvollziehen:
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\frac{1}{1-(-x^2)}=\frac{1}{1+x^2}$$, das ist ja die geometrische Reihe, wie sie im Buche steht.

Für die Aufgabe habe ich folgendermaßen angefangen:
$$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n nx^{2n}=\sum_{n=0}^\infty (-x)^{2n}n=\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n \cdot n$$

Nun wusste ich nicht, was ich mit dem Faktor n anstellen sollte. Schließlich habe ich meinen guten Freund Wolfram gefragt, der lieferte das Ergebnis $$\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$$ also $$\frac{x^2}{(1-(-x^2))^2}$$, woraus ich schließe, dass der Faktor n in der Summe einen Faktor $$x^2$$ im geschlossenen Ausdruck bewirkt.

Nun zwei Fragen:

1. Sind meine Berechnungen richtig und nachvollziehbar?
2.  Hätte ich mir das mit dem Faktor n bzw. $$x^2$$ irgendwie (schnell) daraus herleiten können, oder ist das etwas, was man sich einfach merken sollte?

 und danke schon einmal
Lena

Comments

Tipp: Betrachte die Ableitung der geometrischen Reihe.

---

Ableitung der geometrischen Reihe:
$$\frac{1}{(1-q)^2}=\sum_{n=0}^\infty n\cdot q^{n-1}$$

Stimmt, die sieht ähnlicher aus. Es ist also $$\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n \cdot n=\sum_{n=0}^\infty\underset{q}{(-x^2)}^n \cdot n$$.

Nun muss ich noch das n zu einem n-1 machen, indem ich durch q teile:

$$\frac{1}{(-x)^2} \sum_{n=0}^\infty n\cdot {(-x^2)}^n = \sum_{n=0}^\infty n\cdot {(-x^2)}^{n-1} = \frac{1}{(-x)^2}\cdot\frac{1}{(1+x^2)^2}=\frac{(-x)^2}{(1+x^2)^2}$$

Vielen Dank für den Tipp!

---

Oh, und ich sehe gerade, dass ich in meinem Ursprungs-Post das Minuszeichen vor dem Ergebnis vergessen habe. Es sollte $$-\frac{x^2}{(x^2+1)^2}$$ heißen, das war ja nachher auch mein Ergebnis. Nocheinmal danke für die Hilfe :)



Lena

---

Waaa, bin ich gerade tüddelig. Ich muss natürlich mit (-x²) multiplizieren.

Also nocheinmal in Ruhe und ordentlich:

$$\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n\cdot n=(-x^2)\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^{n-1}\cdot n=(-x^2)\cdot\frac{1}{(1-(-x^2))^2}=-\frac{-x^2}{(1+x^2)^2}$$

Und nun hoffe ich, dass ich mich nicht schon wieder irgendwo verdödelt habe :) Entschuldigt bitte.

---

Du kannst jetzt noch die beiden Minuszeichen weglassen.

---

Ohweia. Das eine Minuszeichen ist zuviel, glaube ich. Ich konnte mich nicht entscheiden, ob ich es vor den Bruch oder vor den Zähler schreibe. Ich denke, da soll nur eines sein: $$-\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$$. So ist es hoffentlich endlich richtig... sowas sollte mir in der Klausur lieber nicht passieren.

---

Es war - (-x²)/(1 +x²)²

Setzen wir mal eine 1 ein und schauen mal:

- (-1²)/(1 +1²)² =  -(-1)/(1 +1)² = 1/4

Du hast zum Schluss als Ergebnis angegeben:

- (x²)/(1 +x²)²

Setzen wir auch hier  mal eine 1 ein und schauen mal:

- (1²)/(1 + 1²)² = -1/4

Hm, da scheint wohl was nicht zu stimmen....

Richtig ist es: - (-x²)/(1 +x²)² = (x²)/(1 +x²)² , denn ein Minus vor dem Bruchstrich kehrt das Vorzeichen entweder im Zähler (wie hier) oder im Nenner um.

---

Möchte jemand der Kommentierenden oder der Fragesteller den Kommentar  noch als Antwort eingeben, damit die Frage nicht mehr bei den offenen Fragen erscheint?

Answer 1

Hi,

$$\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n\cdot n=(-x^2)\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^{n-1}\cdot n=(-x^2)\cdot\frac{1}{(1-(-x^2))^2}=\frac{x^2}{(1+x^2)^2}$$

So, jetzt steht sie nicht mehr als offene Frage da, Lu :)

Comments

Allerdings falsch beantwortet.

---

Ich hAbe das hingeschrieben, was in Kommentaren war. Und das sollte ich hinschreiben also jemand.