Gerade durch P(1,1,1), die die y-Achse im Winkel von 45° schneidet.

Question

Gesucht ist eine gerade durch den punkt P (1,1,1) die die y achse im 45° winkel schneidet.

Answer 1

Richtung der y-Achse: Vektor  (0,1,0)=v

Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse sei S(0,b,0)

Nun betrachte den Vektor  SP = (1,1-b,1)

Skalarprodukt SP*v = |SP|*|v| cos 45°   https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

einsetzen

(1-b)*1 = √(1 + (1-b)^2 + 1) * 1 *1/√2

1 - b = √(2 + 1 - 2b + b^2) / √2                |^2, binomische Formel (links)

1 - 2b + b^2 = (3-2b+ b^2)/2         |*2

2 - 4b + 2b^2 = 3 - 2b + b^2

b^2 - 2b -1 = 0

b = 1/2 ( 2 ± √ (4 + 4))

= 1/2( 2±2√2)

= 1 ± √2

Also S(0, 1±√2, 0)

Nun nochmals die Geometrie überlegen!

Es gibt tatsächlich 2 Geraden durch P, die die y-Achse in einem 45°-Winkel schneiden. Und die Symmetrie bezüglich y=1 ist vernünftig, da P selbst auf der Ebene mit der Gleichung y=1 liegt. Trotzdem noch selbst nachrechnen!

Dann noch die beiden Geradengleichungen angeben.

g1: r= (1,1,1) + s(-1,1+√2-1,-1) = (1,1,1)+ s (-1,√2,-1)

g2: r= (1,1,1) + s(-1,1-√2-1,-1) = (1,1,1)+ t (1,√2,1)

Comments

Kontrolle:

Die Punkte S1,S2 und P müssen ein halbes Quadrat bilden. √2 ist die halbe Hypotenuse des Dreiecks. Der Mittelpunkt der Hypotenuse liegt bei M(0,1,0).

Wie weit ist der Punkt P(1,1,1) von der y-Achse entfernt?

Nächster Punkt auf der y-Achse ist T(0,1,0).

Vektor PT = (1,0,1).

|PT| = √2

Somit ist PT wie gewünscht gleich lang wie die halbe Hypotenuse unseres halben Quadrats.