geometrische reihe aufstellen

Question

Heute besteht ein Ameisenvolk aus n0= 60000 Ameisen. Jede Woche sterben 5% der Ameisen und 5000 kommen Neu dazu. Finde einen geschlossenen Ausdruck für ni. Danke für Antworten!

Answer 1

Setze \(n_0:=60000,\,q:=0.95\) und \(K:=5000\). Für die ersten drei Wochen gilt$$n_1=q\cdot n_0+K$$$$n_2=q\cdot n_1+K=q\cdot(q\cdot n_0+K)+K=q^2\cdot n_0+K\cdot(q+1)$$$$n_3=q\cdot n_2+K=q\cdot\big(q^2\cdot n_0+K\cdot(q+1)\big)+K$$$$\quad=q^3\cdot n_0+K\cdot(q^2+q+1).$$Man vermutet folgenden Zusammenhang$$n_i=q^{i}\cdot n_0+K\cdot\sum_{j=0}^{i-1}q^j=q^{i}\cdot n_0+K\cdot\frac{1-q^{i}}{1-q}$$$$n_{i}=100000-40000\cdot0.95^{i}.$$

Comments

Super danke für die schnelle Antwort!! Wie berechne ich den Wert, an dem ni+1 = ni ist?

Answer 2

Das sollte in etwa so aussehen:

n0 = 60000
n1 = 60000*0.95 + 5000*0.95^0
n2 = 60000*0.95^2 + 5000*0.95^1 + 5000*0.95^0
n3 = 60000*0.95^3 + 5000*0.95^2 + 5000*0.95^1 + 5000*0.95^0
n3 = 60000*0.95^3 + 5000*(0.95^2 + 0.95^1 + 0.95^0)

nn = 60000*0.95^n + 5000*(1 - 0.95^n)/(1 - 0.95)