F sei die Menge aller bijektiven Abbildungen von X nach X. Zeige, dass (F,ο) eine Gruppe ist

Question

Es sei X ≠ ∅ eine Menge und F := {f : X → X ; f ist bijektiv} die Menge aller bijektiven Abbildungen von X nach X. Zeige, dass (F , ο) eine Gruppe ist, wobei ο für die Verkettung von Abbildungen steht. Untersuche ferner, ob es sich hierbei um eine abelsche Gruppe handelt.

Answer 1

1. Die Abbildung e, die jedem Element sich selbst zuordnet, ist das neutrale Element der Verkettung von bijektiven Abbildungen von X auf X.

2. Jede bijektive Abbildung f besitzt eine Inverse Abbildung f^{-1}. 

Es gilt f ^{o} f^{-1} = e und f^{-1} ^{o} f = e

3. Assoziativität der Verkettung von bijektiven Abbildungen:

f1 ^{o} (f2 ^{o} f3) = (f1 ^{o} f2) ^{o} f3   , gilt ,da die Verkettung von Abbildungen im Allgemeinen assoziativ ist.

 

Die Gruppe ist im Allgemeinen nicht abelsch bezüglich Verkettung.

Gegenbeispiel X = ℝ

f1: x↦ 2x

f2: x↦ x+3

f1(f2(x)) = 2(x+3) = 2x + 6

f2(f1(x)) = (2x) + 3 = 2x + 3 

und 2x + 6 ≠ 2x + 3