Verknüpfungstafel / Wertetabelle. S3 := Bij(1,2,3) die Menge der Bijektiven Abbildungen auf der Menge (1,2,3) ...

Question

Sei S3 := Bij(1,2,3) die Menge der Bijektiven Abbildungen auf der Menge (1,2,3) .
a)Geben Sie alle Abbildungen in S3 an, indem Sie deren Wertetabellen angeben.
b)Erstellen Sie eine Verknüpfungstafel für die Gruppe (S3,id,◦)
c)Wie lässt sich die Aussage "Für gegebenes g∈S3 gibt es zu jedem h∈ S3 eine eindeutige Lösung x∈S3
der Gleichung g◦x=h" anhand der Verknüpfungstafel nachvollziehen?
d)Begründen sie anhand Verknüpfungstafel das S3 nicht abelsch ist.

Erst einmal was ist der Unterschied zwischen Wertetabelle und Verknüpfungstafel?
Wie erstelle ich eine Tafel mit S3,id,◦ (Vorallem das id stört mich hier)
Für die d müsste ich doch nur zeigen das keine kommutativität geht eben anhand der Tafel zb. eine Diagonale zeichnen wenn sich die Werte an ihr nicht spiegeln gilt keine kommutativität

Wer kann Licht ins dunkle bringen?
Dankbar für jede Antwort ^^

i

Answer 1

Erst einmal was ist der Unterschied zwischen Wertetabelle und Verknüpfungstafel?
Wie erstelle ich eine Tafel mit S3,id,◦ (Vorallem das id stört mich hier)
Für die d müsste ich doch nur zeigen das keine kommutativität geht eben anhand der Tafel zb. eine Diagonale zeichnen wenn sich die Werte an ihr nicht spiegeln gilt keine kommutativität

Wertetabellen für die bijektiven Funktionen von M={1;2;3} nach M gibt es nicht viele.

Du erstellst sie, indem du für jedes x aus M den zugehörigen Funktionswert y angibst.

wegen bijektiv müssen alle y verschieden sein, es geht also im Wesentlichen nur um

Änderung der Reihenfolge. Deshalb heißen die auch Permutationen

f1:      x  | 1   |    2 |  3   |
          y   |  1 |    2 |  3   |

f2:      x  | 1   |    2 |  3   |
          y   |  1 |    3 |  2   |

f3:      x  | 1   |    2 |  3   |
          y   |  2 |    1 |  3   |

f4:      x  | 1   |    2 |  3   |
          y   |  2 |    3 |  1  |

f5:      x  | 1   |    2 |  3   |
          y   |  3 |    1 |  2   |

f6:      x  | 1   |    2 |  3   |
          y   |  3 |    2 |  1   |

Das id ist einfach die identische Abb., bei meiner Nummerierung also f1

und Verknüpfungstafel für die Gruppe bzgl. o erstellst du, indem du zwei

hintereinander ausführst, etwa  f2 o f4 (beachte, dass dieses Kringelsymbol

als "nach" gelesen wird, also f2 nach f4 heißt z.B

die 1 wird erst mit f4 auf 2 abgebildet und dann die 2 mit f2 auf 3
die 2 wird erst mit f4 auf 3 abgebildet und dann die 3 mit f2 auf 2
die 3 wird erst mit f4 auf 1 abgebildet und dann die 1 mit f2 auf  1

damit ist    f2 o f4 = f6

In der Art kannst du alle Verknüpfungen bestimmen und siehst dann
auch gleich, dass es nicht kommutativ ist, weil z.B.
  f4 o f2 = f3 ≠   f2 o f4.

Die Tafel ist die Zusammenstellung aller möglichen Ergebnisse,
etwa in der  Form

o        id         f2        f3          f4          f5         f6

id

f2                                            f6

f3

f4                   f3

f5

f6

Und für c) wirst du sehen, dass es zu jeder Abbildung in dieser Gruppe eine
inverse gibt. ( mit hoch -1 gekennzeicnet ) .

Gleichung g◦x=h  kann man also (von links) mit g-1  verknüpfen, und hat

g-1 o (g◦x) =  g^-1 o h    da es auch assoziativ ist hat man

( g-1 o g ) ◦x =  g^-1 o h      wegen  g-1 o g = id

id ◦x=  g^-1 o h     also

x =  g^-1 o h   als Lösung der Gleichung.

Comments

wow danke für deine mühe und ausführlichkeit sonst würde ich das echt nicht verstehen wenn man das ganze so ausseinander nimmt wie du ist das auchh gar nicht so schhwer leider gibt es in der vorlesung keine zeit dafür nichtmal in der übung ^^

Answer 2

zu a) eine Wertetabelle bezieht sich auf Funktionen (in diesem Fall auf die Bijektionen). Sieht zum Beispiel so aus:

f(x) \ x	1	2	3
Id(x)	1	2	3
S1(x)	3	2	1
usw,

zu b) Die Gruppentafel sollte dir ja bekannt sein. Deine Gruppe hat 6 Elemente also wird deine Tafel 6x6 Einträge haben. Das "Id" steht für die Identität (Abbildung) und soll das neutrale Element deiner Gruppe sein.

zu c, d) ja aus der Tafel ist dies sofort ersichtlich.

Gruß