Erst einmal was ist der Unterschied zwischen Wertetabelle und Verknüpfungstafel?
Wie erstelle ich eine Tafel mit S3,id,◦ (Vorallem das id stört mich hier)
Für die d müsste ich doch nur zeigen das keine kommutativität geht eben anhand der Tafel zb. eine Diagonale zeichnen wenn sich die Werte an ihr nicht spiegeln gilt keine kommutativität
Wertetabellen für die bijektiven Funktionen von M={1;2;3} nach M gibt es nicht viele.
Du erstellst sie, indem du für jedes x aus M den zugehörigen Funktionswert y angibst.
wegen bijektiv müssen alle y verschieden sein, es geht also im Wesentlichen nur um
Änderung der Reihenfolge. Deshalb heißen die auch Permutationen
f1: x | 1 | 2 | 3 |
y | 1 | 2 | 3 |
f2: x | 1 | 2 | 3 |
y | 1 | 3 | 2 |
f3: x | 1 | 2 | 3 |
y | 2 | 1 | 3 |
f4: x | 1 | 2 | 3 |
y | 2 | 3 | 1 |
f5: x | 1 | 2 | 3 |
y | 3 | 1 | 2 |
f6: x | 1 | 2 | 3 |
y | 3 | 2 | 1 |
Das id ist einfach die identische Abb., bei meiner Nummerierung also f1
und Verknüpfungstafel für die Gruppe bzgl. o erstellst du, indem du zwei
hintereinander ausführst, etwa f2 o f4 (beachte, dass dieses Kringelsymbol
als "nach" gelesen wird, also f2 nach f4 heißt z.B
die 1 wird erst mit f4 auf 2 abgebildet und dann die 2 mit f2 auf 3
die 2 wird erst mit f4 auf 3 abgebildet und dann die 3 mit f2 auf 2
die 3 wird erst mit f4 auf 1 abgebildet und dann die 1 mit f2 auf 1
damit ist f2 o f4 = f6
In der Art kannst du alle Verknüpfungen bestimmen und siehst dann
auch gleich, dass es nicht kommutativ ist, weil z.B.
f4 o f2 = f3 ≠ f2 o f4.
Die Tafel ist die Zusammenstellung aller möglichen Ergebnisse,
etwa in der Form
o id f2 f3 f4 f5 f6
id
f2 f6
f3
f4 f3
f5
f6
Und für c) wirst du sehen, dass es zu jeder Abbildung in dieser Gruppe eine
inverse gibt. ( mit hoch -1 gekennzeicnet ) .
Gleichung g◦x=h kann man also (von links) mit g-1 verknüpfen, und hat
g-1 o (g◦x) = g-1 o h da es auch assoziativ ist hat man
( g-1 o g ) ◦x = g-1 o h wegen g-1 o g = id
id ◦x= g-1 o h also
x = g-1 o h als Lösung der Gleichung.