Fourierkoeffizienten von stückweise definierter Funktion

Question

Hallo noch einmal.

Ich bin mir wieder bei einer alten Klausuraufgabe unsicher.

Die Aufgabenstellung lautet:

Berechnen Sie alle reellen Fourierkoeffizienten a_k(f) und b_k(f) der 2π-periodischen Funktion f,
$$f(t)=\begin{cases}1 \; \text{wenn}\; t\in [0,\pi),\\ 0 \; \text{wenn}\; t \in [\pi,2\pi) \end{cases}$$
Hinweis: Für alle n ∈ ℤ gelten sin(nπ)=0 und cos(nπ)=(-1)ⁿ

 

Dazu habe ich die Integralformeln benutzt:

$$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}T_n(t)\cos(kt)\mathrm dt$$

$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}T_n(t)\sin(kt)\mathrm dt$$

 

und folgendermaßen "gerechnet":
$$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}1\cdot\cos(kt)\mathrm dt=\frac{1}{\pi}\frac{\sin(kt)}{k}=\frac{\sin(kt)}{k\pi}=0$$
$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}1\cdot\sin(kt)\mathrm dt=\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{\cos(kt)}{k}\right)=-\frac{1}{\pi}\cdot\frac{(-1)^k}{k}=-\frac{(-1)^k}{k\pi}$$

Könnt ihr mir sagen, ob ich das richtig gemacht habe und das wirklich "so simpel" ist, oder ich etwas Wichtiges nicht beachtet habe? 

Danke schon einmal.
MfG Lena

Answer 1

Achtung:$$ a_0$$ ist ungleich 0!

Answer 2

Die Periode ist 2π.

Deine Integrale gehen allerdings nur bis π. Der Bereich von  π bis 2π taucht nirgends auf. Ist im Endeffekt auch nicht weiter schlimm, da die entsprechenden Integrale sowieso zu Null werden. Aber rein formal müsste man diese, so glaube ich, mitaufführen.

Ansonsten sind die Ergebnisse auf dem ersten Blick richtig.

Comments

Ok, vielen Dank.
Ich habe die Integrale nur bis π gehen lassen, weil ich dachte, ich müsste ja nicht über 0 integrieren. Aber in der Klausur schreib ich sie sicherheitshalber mit auf, mit dem Kommentar, dass sie ja 0 sind.

Vielen Dank für die schnelle Antwort!

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Gerne und vor allem viel Erfolg bei der Klausur.