Hallo noch einmal.
Ich bin mir wieder bei einer alten Klausuraufgabe unsicher.
Die Aufgabenstellung lautet:
Berechnen Sie alle reellen Fourierkoeffizienten ak(f) und bk(f) der 2π-periodischen Funktion f,
$$f(t)=\begin{cases}1 \; \text{wenn}\; t\in [0,\pi),\\ 0 \; \text{wenn}\; t \in [\pi,2\pi) \end{cases}$$
Hinweis: Für alle n ∈ ℤ gelten sin(nπ)=0 und cos(nπ)=(-1)n
Dazu habe ich die Integralformeln benutzt:
$$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}T_n(t)\cos(kt)\mathrm dt$$
$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}T_n(t)\sin(kt)\mathrm dt$$
und folgendermaßen "gerechnet":
$$a_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}1\cdot\cos(kt)\mathrm dt=\frac{1}{\pi}\frac{\sin(kt)}{k}=\frac{\sin(kt)}{k\pi}=0$$
$$b_k=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{\pi}1\cdot\sin(kt)\mathrm dt=\frac{1}{\pi}\cdot\left(-\frac{\cos(kt)}{k}\right)=-\frac{1}{\pi}\cdot\frac{(-1)^k}{k}=-\frac{(-1)^k}{k\pi}$$
Könnt ihr mir sagen, ob ich das richtig gemacht habe und das wirklich "so simpel" ist, oder ich etwas Wichtiges nicht beachtet habe?
Danke schon einmal.
MfG Lena