Hallo. Vielleicht könnt ihr mir bei folgender Aufgabe aus Analysis II helfen:
Die durch $$f(t)=(e^{3it}-e^{it})e^{-3it}, \; t \in \mathbb R$$ angegebene Funktion ist ein trigonometrisches Polynom vom Grad 2 und lässt sich darum in der Form $$f(t)=\sum_{k=-2}^{2}c_ke^{k\mathrm{it}}$$ sowie in der Form $$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{2}(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt)),\; t\in \mathbb R)$$ darstellen.
Geben Sie die Koeffizienten c-2, c-1,c0,c1,c2 sowie a0, a1,a2,b1,b2 an.
Ich habe mich zuerst an den komplexen Koeffizienten versucht, und zwar mithilfe der Integralformel:
$$c_k=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}((e^{3it}-e^{it})e^{-3it})\cdot e^{-ikt}\mathrm dt$$
$$=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}((e^{3it}\cdot e^{-3it} -e^{it}\cdot e^{-3it}))\cdot e^{-ikt}\mathrm dt$$
$$=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}(1-\frac{e^{it}}{e^{3it}})\cdot e^{-ikt}\mathrm dt$$
$$=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}(1-\frac{1}{e^{2it}})\cdot e^{-ikt}\mathrm dt$$
...
bevor ich nun weiterrechne, wollte ich einmal fragen, ob ich überhaupt "auf dem richtigen Weg" bin, denn das erscheint mir zu aufwändig und ich denke, ich mache etwas falsch.
Ich würde mich über Tipps freuen :)
