Polarform der Lösung von z^3=4(√2 - √2 i) ohne Taschenrechner bestimmen

Question

Man gebe die polarform re^iφ ,r > 0 , φ ∈ [0,2) der Lösungen der gleichung

z³=4(√2 - √2 i)  ohne taschenrechner

danke 

Comments

Hast du eventuell  φ ∈ [0,2π) gemeint?

Answer 1

z³=4(√2-√2i) 

Rechte Seite in Polarform umwandeln

4(√2-√2i)

1. Winkel von (√2-√2i) überlegen!  - 45° resp -π/4 resp 7π/4

2. Betrag von (√2-√2i) berechnen |(√2-√2i)| = √(2+2) = 2

Somit gilt

4(√2-√2i) = 4*2*e^{i*7π/4} = 8*e^{i*7π/4}

Nun Gleichung lösen

z³=8*e^{i*7π/4}         |^3√

z1 = 2*e^{i*7π/12}          

z2 = 2*e ^{i*(7π/12 + 2π/3)}

z3 = 2*e^{i*(7π/12 + 4π/3)} 

Nachrechenen und Brüche in den Exponenten noch richtig addieren überlasse ich dir. Umrechnen auf Winkel zwischen 0 und 2 nicht vergessen!