$$\color{blue} \Huge{ \textbf{ Injektivität, Surjektivität und Bijektivität }}$$
In diesem Artikel sollen Injektivität, Surjektivität und Bijektivität sowohl definiert als auch an Beispielen besser erklärt werden. Fangen wir am besten direkt an:
$$\color{red} \Large{ \textbf{Definition der Injektivität:}}$$
Eine Funktion f heißt genau dann injektiv, wenn
$$ \forall x,y \in D_f \colon f(x) = f(y) \Rightarrow x = y $$
gilt. Das ist die reinformale Definition. ∀ ist eine mathematische Abkürzung für: "für alle". Also ist die Definition in Worten gefasst:Für alle x,y aus dem Wertebereich (D_f) gilt: f(x) = f(y) gilt genau dann, wenn x=y. Das ist die Definition einer injektiven Funktion in Worte gefasst.
Gelinde gesagt, eine Funktion heißt injektiv, wenn sie eineindeutig ist. Eineindeutig ist ebenfalls ein mathematischer Begriff, der die Eindeutigkeit einfach noch mal betont. Eine Injektion ist z.B. eineindeutig.
$$f \colon \begin{cases}\mathbb N \rightarrow \mathbb N \\ x \rightarrow 2\cdot x \end{cases}$$
Die Funktion ist injektiv, da aus 2x = 2y offensichtlicherweise x=y folgt. Man könnte diese Funktion eineindeutig nennen, weil es für ein f(x) immer nur ein(!) x gibt. Bei
$$g \colon \begin{cases} \mathbb Z \rightarrow \mathbb R \\ x \rightarrow x^2 \end{cases}$$
gibt es zu einem f(x) (=x^2) mehrere x. Einmal das positive und einmal das negative x. Deswegen ist diese Funktion nicht(!) eineindeutig und auch keine Injektion.
$$\color{red} \large{ \textbf{Beispiel 1: }}$$
Die Funktion
$$f \colon \begin{cases} \mathbb R \to \mathbb R \\ x \mapsto x^2 \end{cases}$$
ist nicht injektiv. Denn $$4=(-2)^2 = 2^2 =4 \stackrel{\text{Nein!}}{\Rightarrow} (-2) = 2 $$ ist natürlich falsch.
$$\color{red} \large{ \textbf{Beispiel 2:}}$$
Die Funktion
$$f \colon \begin{cases} \mathbb N \to \mathbb R \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases}$$
ist injektiv, da man durch Quadrieren die Gleichung
$$ \sqrt{x} = \sqrt{y} \text{ zu } x=y $$
umformen kann.
$$\color{blue} \large{ \textbf{Aufgabe:}}$$
Ist die Funktion $$ f \colon \begin{cases} \mathbb R_{\geq 0} \to [0, \infty[ \\ x \mapsto \sqrt{x^3} \end{cases} $$ injektiv? Beweise Deine Antwort!
$$\color{red} \Large{ \textbf{Definition der Surjektivität:}}$$
Eine Funktion
$$f \colon X \to Y $$
heißt surjektiv, wenn
$$\forall y \in Y \colon \exists x \in X \colon f(x)=y$$
gilt. Das Zeichen ∃ bedeutet "es gibt/existiert ein". Nun formuliere ich die Formel aus der Definition in Worte, die man leichter verstehen müsste: Für jedes y aus der Zielmenge existiert ein x aus dem Wertebereich, für das gilt: f(x) = y. Es darf also kein Element in der Zielmenge geben, das nicht das Ergebnis von einem f(x) ist, wobei x aus dem Wertebereich ist.
$$\color{red} \large{ \textbf{Beispiel 1:}}$$
Die Funktion
$$ f \colon \begin{cases}\mathbb R \to \mathbb R \\ x \mapsto x^2 \end{cases}$$
ist nicht (!) surjektiv, denn zu
$$ -1 \in \mathbb R$$
existiert keine keine reelle Zahl, deren Quadrat -1 ist.
$$\color{red} \large{ \textbf{Beispiel 2:}}$$
Die Funktion
$$f \colon \begin{cases} \mathbb N \to \mathbb R \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases}$$
ist nicht surjektiv, da zu 3,5 keine Wurzel aus einer natürlichen(!) Zahl existiert.
$$\color{blue} \large{ \textbf{Aufgabe:}}$$
Ist die Funktion
$$f \colon \begin{cases} \mathbb R_{\geq 0} \to [0, \infty [ \\ x \mapsto \sqrt{x^3} \end{cases}$$
surjektiv? Beweise Deine Antwort!
$$\color{red} \large{ \textbf{ Definition der Bijektivität:}}$$
Eine Funktion f heißt genau dann bijektiv, wenn sie sowohl injektiv, als auch surjektiv ist. Ganz einfach :-). Man nennt f dann auch eine Bijektion.
$$\color{red} \large{ \textbf{Beispiel 1:}}$$
Die Funktion
$$ f \colon \begin{cases} \mathbb N \to \mathbb R \\ x \mapsto \sqrt{x} \end{cases}$$ ist keine Bijektion, weil wir bereits gezeigt haben, dass sie nicht surjektiv ist.
$$\color{red} \large{ \textbf{Beispiel 2:}}$$
Eine sehr bekannte Bijektion ist die identische Abbildung
$$ \text{id} \colon \begin{cases} X \to X \\ x \mapsto x \end{cases}$$
Diese Funktion ist etwas Besonderes. Sie bildet von x auf x ab! Daher nennt man sie die identische Funktion. Es handelt sich bei ihr um eine Bijektion.
Sie ist injektiv, da aus f(x)=f(y)=x=y automatisch x=y folgt ;D.
Sie ist surjektiv, da zu jedem y aus der Zielmenge logischweise ein x aus dem Wertebereich zugeordnet ist, x=y.
Somit ist sie bijektiv.
$$\color{blue} \large{ \textbf{Aufgabe:}}$$
Ist die Funktion
$$f \colon \begin{cases} \mathbb R_{\geq 0} \to [0, \infty[ \\ x \mapsto \sqrt{x^3} \end{cases}$$
bijektiv? Beweise Deine Antwort!
Das war mein Artikel, ich hoffe er hat euch gefallen, vielleicht manchen auch weiter geholfen. Positive und negativ Bewertung bitte in die Kommis ;-)
