Münzen - Knobelaufgabe

Question

Julian hat 15 Münzen, die einen Wert von 0,05€, 0,10€ und 0,25€ haben. Der Gesamtwert der Münzen beträgt 1,80€. Wie viele Münzen gibt es von jeder Sorte? Diese Aufgabe lässt sich bestimmt mit einer Gleichung lösen. Jedoch sind das drei Werte (x,y,z) und nur zwei Gleichungen.

Comments

Hi, nur zwei lineare Gleichungen bei drei Unbekannten bedeutet, dass es mehr als eine Lösung zu erwarten ist. Durch die starken Einschränkungen – x,y,z natürlich und 0 < x,y,z < 15 – wird es allerdings nicht beliebig viele Lösungen geben. Ich würde die Rechnung in Cent durchführen und vielleicht zunächst eine Variable eliminieren und dann mal weiter sehen.

Answer 1

Hi,

Da hast Du recht, aber da die Münzen nur ganzzahlig sein können vereinfacht sich das Problem ;).

 

x + y + z = 15

0,05x +  0,1y + 0,25z = 1,80

 

Ersteres nach x aufgelöst und in letzteres eingesetzt:

x = 15 - y - z

-->

0,05(15-y-z) + 0,1y + 0,25z = 1,80

Nach einer Variablen auflösen: y = 21-4z

 

Jetzt durchprobieren. z kann dabei nur sinnvolle Werte annehmen, wenn es z ∈ {0,1,2,3,4,5} ist.

Für beispielsweise z = 3 wird man fündig. Dann ist y = 9. In die erste Gleichung eingesetzt ergibt sich x = 3. Alle Bedingungen sind erfüllt.

 

Grüße

Answer 2

Julian hat 15 Münzen, die einen Wert von 0,05€, 0,10€ und 0,25€ haben. Der Gesamtwert der Münzen beträgt 1,80€. Wie viele Münzen gibt es von jeder Sorte? Diese Aufgabe lässt sich bestimmt mit einer Gleichung lösen. Jedoch sind das drei Werte (x,y,z) und nur zwei Gleichungen.

x + y + z = 15
z = 15 - x - y

0.05·x + 0.1·y + 0.25·z = 1.8
0.05·x + 0.1·y + 0.25·(15 - x - y) = 1.8
y = 13 - 4/3·x

z = 15 - x - y
z = 15 - x - (13 - 4·x/3)
z = x/3 + 2

Die Lösungstripel haben also die Form

[x, 13 - 4/3·x, x/3 + 2]

Es ist hier offensichtlich das x zumindest eine durch 3 teilbare Zahl sein sollte. Jetzt kann man einfach mal ein paar Werte einsetzen

[0, 13, 2], [3, 9, 3] , [6, 5, 4] , [9, 1, 5] , [12, -3, 6]

Ab x = 12 hat man also Probleme, weil dann für y negative Werte auftreten. Das andere sind schon Lösungen.

Eventuell kann man den Fall x = 0 aus der Lösung herausnehmen, weil dann keine Münze von Wert 0.05 dabei wäre.

Answer 3

Hi,

Es ist:

(I) a+b+c=15. => a = 15-b-c

Es ist weiter:

(15-b-c)*0,05€ + b*0,10€ + c*0,25€ = 1,80€
0,75€ - b*0,05€ - c*0,05€ + b*0,10€ + c*25€ = 1,80€

0,75€ + b*0,05€ + c*0,20€ = 1,80€

b*0,05€ + c*0,20€ = 1,05€ ==> (c=1,b=17); (c=2,b=13), (c=3, b=9); (c=4, b=5); (c=5, b=1)


Daraus kannst du a schlussfolgern (aus Gleichung 1). Es gibt mehrere Lösungen für a,b und c.... ;)

legendär

Answer 4

Das Gleichungssystem ist äquivalent zu

x + y + z = 15
x + 2*y + 5*z = 36

Dabei gilt x, y, z ∈ { 1, 2, ..., 14, 15 }. Subtrahieren ergibt:

y + 4*z = 21
-x + 3*z = 6

und weiter:

y = 21 - 4*z
x = 3*z - 6

Daraus folgt z ∈ { 3, 4, 5 } und damit

(x, y, z) ∈ { (3, 9, 3), (6, 5, 4), (9, 1, 5) }.

Answer 5

Also die Antwort ist 6*0,05€, 5*0,10€ und 4*0,25€

Das ist die Lösung aber die Erklärung hab ich nicht