Warum ergibt die Summe aller natürlichen Zahlen -1/12?

Question

Warum ergibt sich -1/12, wenn man alle natürlichen Zahlen addiert? Das würde doch gegen unendlich gehen, oder nicht?

https://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww

Ich habe auch diesen Artikel gefunden: https://m.spiegel.de/wissenschaft/mensch/a-944534.html

Den beiden Forschern macht es sichtlich Spaß, das absurde Ergebnis auf überzeugende Weise herzuleiten. Sie zeigen, dass die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis unendlich nicht etwa unendlich, sondern minus 1/12 ist. Hier noch einmal ausgeschrieben:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + = -1/12

Die erklären denselbigen "Beweis". Wo ist aber mathematisch der Fehler? Und seit wann gibt es „absurde“ Beweise?

Comments

Es gibt keine absurden Beweise. Es gibt allerdings absurde, ignorante Artikel in Zeitschriften oder deren boulevardesken Internetauftritten. Ich habe noch keinen Spiegelartikel über Mathematik gelesen der nicht massiven Schwachfug erzählt hätte.  Die Ausdrücke A,B,C existieren nicht oder sind unendlich. Daher ist deren Addition/Subtraktion/wasauchimmer nicht definiert.

Answer 1

Das ist einer von zig Denkfehlern wie in http://www.gerdlamprecht.de/Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler.htm

unter Mißachtung des Gültigkeitsbereiches von Algorithmen §27a) beschrieben.

§27: Mißachtung des Gültigkeitsbereiches von Algorithmen

§27a) 1+2+3+4+5+6+... = -1/12 findet man zig Links. Statt 1000 Worte hier die Kurzfassung: für die Riemannsche Zeta Funktion Zeta(x) gibt es unter functions.wolfram 198 Algorithmen.

Wenn man sich nun einen mit eingeschränkten Gültigkeitsbereich herauspickt:$$\zeta(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{x}} ; \operatorname{Re}(x)>1$$und ein dafür ungültiges Argument heraussucht: x=-1

(Divergenz: 1/1+1/2^(-1)+1/3^(-1)+... = 1+2+3+... = ∞)

dann ABER einen gültigen Algorithmus verwendet:
$$\zeta(x)=\Gamma(1-x) 2^{x} \pi^{x-1} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right) \zeta(1-x)$$
Zeta(-1)=Gamma(2)*2^(-1)*Pi^(-2)*sin(-Pi/2)*Zeta(2)=1*(-1/(2Pi²))*Pi²/6=-1/2*1/6=-1/12

und Teile des ersten Algorithmus mit dem Ergebnis von Zeta(-1) mit einem Gleichheitszeichen verbindet,
kommt diese falsche Gleichheit zustande: 1+2+3+4+... = -1/12

Comments

Danke für den Stern!

Dank dieser (solcher) Fragen bin ich auch gleich auf ein neues Paradoxon gestoßen, was jedoch bis heute nicht 100% aufgeklärt ist (AppellF1).

Answer 2

Hi,

das ist falsch! Die Summe aller natürlichen Zahlen ist nicht(!) -1/12 !! Ich begründe:

1. Alle natürlichen Zahlen sind "Nichtkomma-Zahlen", 1,2,3,... Und alle sind positiv, also muss die Summe positiv sein und ebenfalls eine natürliche Zahl sein.

2. Wenn es um alle(!) natürlichen Zahlen geht, dann geht die Summe gegen unendlich, weil es ja auch unendiich viele natürliche Zahlen gibt.

Also das kann nicht sein :D Vielleicht hast du etwas falsch verstanden.... :)

Answer 3

Die Reihe konvergiert nicht im Sinne dessen wir man normalerweise unter Konvergenz versteht. Da ist die Reihe bestimmt divergent. Die Reihe \( \zeta(s) ;= \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} \) konvergiert für alle komplexen s mit Re(s)>1. Man kann sie allerdings mit Mitteln der Funktionentheorie eindeutig in der komplexen Ebene fortsetzen. Diese Fortsetzung nennt man Riemannsche Zeta-Funktion https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_%CE%B6-Funktion . Diese ist bei -1 definiert.

Setzt man nun - natürlich illegalerweise, aber sowas hält insbesondere Physiker nicht wirklich ab - die Zeta-Funktion mit der Reihe auch an Stellen gleich, an denen die Reihe nicht definiert ist (wie -1), so ergibt sich \( \zeta(-1) := \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{-1}}= \sum_{n=1}^\infty n \) und es ist \( \zeta (-1)= \frac{-1}{12} \) damit ergibt sich die behauptete - aber wie gesagt, notationsmäßig grausige - Gleichheit.

Dass man die Summe im Video in einem nicht üblichem Sinne bildet, muss unbedingt erwähnt werden, denn - um es nochmal zu sagen - im üblichen Sinne ist es falsch.

Answer 4

Du hast recht, es ist (im mathematischen Sinne) nicht \( -\frac{1}{12} \), sondern divergent. Zeig mir einen beliebigen Beweis der Aussage und ich zeige dir mindestens eine Stelle, die mathematisch ungenau oder sogar inkorrekt ist.

Tatsächlich wird dieses Resultat allerdings meines Wissens nach in einigen Bereichen der Physik (z.B: String-Theorie) benutzt. Warum das gemacht wird, weiß ich leider nicht (würde mich mal interessieren). Die spinnen eben die Physiker ;) Aber so lange es "funktioniert" solls mir recht sein.

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Hallo :)

wie soll ich dir denn einen Beweis zeigen?^^

ich meine wenn ich die natürlichen Zahlen aufsummiere, dann würde das ja so aussehen:

∑(n=1 bis ∞) n = ∞

keine ahnung wie ich das beweisen soll Oo

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Ich meinte einen Beweis zu \( \sum_{k=0}^\infty k = -\frac{1}{12} \). In den Beweisen dazu steckt nämlich immer eine kleine Schweinerei drin. Ich könnte dir mit so Tricks auch beweisen, dass \( 0 \geqslant \frac{1}{2} \).

Der Beweis der Divergenz von \( \sum_{k=0}^\infty k \) ist leicht, denn es gilt

$$ S_n:= \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$

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Hä ich verstehe das gerade nicht so^^

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Ich sage nur, dass alle Beweise für die Behauptung

\( 1+2+3+4+\dots = -\frac{1}{12} \)

Quark sind, auch wenn dieses Resultät in manchen Bereichen genutzt wird und es möglicherweise sogar in dem Zusammenhang gut funktioniert.

Es gilt ganz klar, dass

$$ 1+2+3+4+\dots = \sum_{k=0}^\infty k \rightarrow \infty $$

Answer 5

Die Menge aller natürlichen Zahlen -----> schwierig !

Nenne mir die größte natürliche Zahl und ich addiere 1 dazu !! Also unendlich.

Answer 6

1+2+3+4+5+ .. + n = n/2 • (n+1)  → ∞  für n → ∞

Genauer:  \(\sum\limits_{k=1}^{∞} k\) ist eine nicht konvergente Reihe, deshalb ist die Summe nicht definiert.

Allerdings gibt es Herleitungen für diese Summe -1/12 tatsächlich , sie wird in verschiedenen Theorien (z.B. Quantentheorie) wohl auch benutzt.

Gruß Wolfgang

Comments

Also ist 1+2+3+4+5... Nicht -1/12?

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man muss sie erst einmal definieren.

Dann erst kann man sagen, ob sie = -1/12 ist.

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Wie bereits in der Original-Frage bereits beantwortet:

Das ist einer von zig Denkfehlern wie in

http://www.gerdlamprecht.de/Liste_der_von_Menschen_begangenen_Fehler.htm

unter  Mißachtung des Gültigkeitsbereiches von Algorithmen

§27a) beschrieben.

Natürlich bekommt man zu paradoxen Ergebnissen, wenn man Gültigkeitsbereiche von Algorithmen missachtet.

Zur Anwendung:

a) die Riemannsche Zeta-Funktion wird zig fach verwendet...

b) Konvergenz-Beschleunigungs-Algorithmen werden zig fach verwendet -> was natürlich eine konvergente Reihe voraussetzt

Answer 7

Ok ich weiß der Artikel ist etwas älter, aber ich hab in den Kommentaren nichts gefunden, was den Fehler im Beweis nennt, also: Bei Reihen(unendliche Summen über eine Folge a_n) darf man nur dann die Reihenfolge der Summanden ändern, wenn die Reihe selbst absolut konvergiert, sonst ändert sich der Reihenwert. Die Reihe der Summe 1-2+3-4+5... ist nicht absolut konvergent, also auch nicht deren Multiplikation mit 2. Im, im Video verwendeten, Beweis wird die Reihenfolge der Summanden allerdings verändert, wodurch sich der Reihenwert verändert und somit ein Fehler gemacht.