Zeige direkt: Summe der ersten n natürlichen Zahlen ist (n(n+1))/2

Question

Aufgabe aus Vorkurs:

Zeigen Sie die Formel für die Summe der ersten \( n \in \mathbb{N} \) natürlichen Zahlen direkt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2} \)

Lösung:

Wir benutzen einen Trick, indem wir das doppelte der Summe berechnen und in unterschiedlicher Reihenfolge summieren.

Sei also \( n \in \mathbb{N} \), dann gilt für die Summe der ersten \( n \) natürlichen Zahlen:

\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n} k &=\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k+\sum \limits_{k=1}^{n} k\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k+\sum \limits_{k=1}^{n} n-k+1\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} k+n-k+1\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{k=1}^{n} n+1\right) \\ &=\frac{1}{2} n(n+1) \end{aligned} \)

Was genau wird mit dem Endwert an der Funktionsstelle bei der Summe gemeint? Kommt ab der zweiten Spalte.

Was wird hier mit dem n bei der Funktion gemeint? Also das n, das das k ersetzt hat. Und wie wirkt sich das auf die Summe aus. So wie ich das verstanden hab bleibt die summe einfach n, da n-n=0?

Comments

Falls du in der zweiten Zeile der Lösung die zweite Summe meinst, die ist genau die selbe wie die erste auch, aber wird rückwärts durchlaufen. Setz einfach mal ein paar Werte für k ein z.B. die ersten 2 und die letzten 2.

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schonmal danke dir für deine antwort, das sie die gleichen sind und ruckwärts durchlaufen setzt aber das -k +1 Voraus oder? ich mein ich hab falsch gedacht weil ich gedacht habe das sie unabhängig von der summe sind aber die funktion bei der Summe ist einfach (n-k+1) richtig?

Die Summe fängt auch immer bei 1n an oder?. in einigen fällen auch 0?

Bzw. kannst du mir eventuell erklären wie er von der 2tnen zeile in die 3te und von dort in die 4te kommt, bei der 5ten klammert er ja aus, ist das richtig?

habe sein verfahren in der 2ten spalte verstanden, weiß nur nicht wier er von der 2ten spalte in die dritte kommt und dann in die 4te und 5te bzw. in der 5ten wird eventuell ausgeklammert?

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Hi, die Umformung in der dritten Spalte ist einfach die Zusammenfassung der beiden Summen,

weil die Addition assoziativ ist und über denselben Index summiert wird.

4. Zeile sollte eigentlich klar sein, dass k +n -k +1 = n+1 ist.

Und 5. Zeile ist keine Ausklammerung sondern der Wert der Summe. Wenn du n mal n+1 addierst was kriegst du dann? n*(n+1) ;)

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in der 3ten spalte sollte doch demnach noch immer die doppelte summe stehen?

nur verstehe ich die umformung nicht wenn 1 als anfangswert genommen wird? (wenn das summenzeichen wegfällt ist es doch keine summe mehr? und demnach nicht 2mal die summe?

bitte, gib nicht beim versuch auf es mir zu erklären^^..

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Vielleicht hilft dir diese Klammersetzung ein bisschen:

$$ \sum^{n}_{k=1} (k) + \sum^{n}_{k=1} (n-k+1) $$

Vor den Summen steht immer die Folge, die in Abhängigkeit von k summiert wird,

Da beide Summe über k = 1 bis n summiert werden kannst du das ganze auch in einer Summe schreiben

$$ \sum^{n}_{k=1} (k + n - k +1) $$

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Ich hab es verstanden. Es ist ja bei 4, nehmen wir den endwert 5.

1+5-1+1 = 6

2+5-2+2=6 und das ganze dann 5mal ist 30 geteilt durch 2 ist 15

Answer 1

Nimm mal n = 5 und damit die Zahlen 1,2,3,4,5

Nun ist es egal in welcher Reihenfolge Du summierst

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1

∑ (k = 1 bis n) (k) = ∑ (k = 1 bis n) (n - k + 1)

So verstanden?

Answer 2

1. Ist es eine Summe und keine Funktion, wenn du diesen Begriff verwendest führt das zu

Verwirrung.

2. Die Summe von 1 bis n kannst du auch in der Reihenfolge der Summanden tauschen

also 1 + 2+ ... + n = n + (n-1) + ..... +1

Daher kommt diese Vertauschung von k und n-k+1

Wenn k von 1 bis n geht werden damit die selben Zahlen durchgelaufen nur in umgekehrter Reihenfolge,

wie oben beschrieben.