Bestimmen Sie mit der Regel von L’Hospital den Grenzwert x→0 (1 - cos^3(x)) / x^2

Question

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 - \cos ^ { 3 } ( x ) } { x ^ { 2 } } $$

Kann mir jemand eine Lösung dafür geben?

Answer 1

x--->0

(1 - cos^3(x)) / x^2

Ok. Sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen Null. Damit die Regel von Hospital anwenden.

3·sin(x)·cos(x)^2 / 2x

Auch hier gehen wieder Zähler und Nenner gegen 0. Daher wieder Hospital anwenden

(9·cos(x)^3 - 6·cos(x)) / 2

Hier kann ich jetzt 0 einsetzen und wir bekommen als Grenzwert

3/2

 

Answer 2

Wenn du etwas siehst.

lim [ 1 - cos ³ ( x ) ] / x ² =  ( 1 )

= lim 3 cos ² ( x ) sin ( x ) / 2 x    ( 2 )

Ganz wesentlich ist hier immer die Anwendung der Grenzwertsätze. Das Kosinusquadrat ist doch voll unkritisch; das geht gegen Eins. Es verbleibt

( 3/2 ) lim sin ( x ) / x   ( 3 )

diesen Grenzwert kennt übrigens jeder Physiker: Er ist Eins und kommt auch mit der Krankenhausregel so raus. also 3/2 .

Was  lernen wir daraus? Immer spähen, was du bereits vor den Limes ziehen kannst.