Hallo Emre!
Du kannst hier durchaus mit den dir bekannten binomischen Formeln etwas machen. So ähnlich wie du es von den Parabelscheitelpunkten her kennst.
f(x,y)=2x2+y2-2xy-2x
= x^2 - 2xy + y^2 + x^2 -2x +1 - 1 | quadr. Ergänzung
= (x-y)^2 + (x-1)^2 - 1
Die Summe 2er Quadrate ist dann am kleinsten, wenn beide Quadrate 0 sind.
Daher sollte für die globale Minumalstelle gelten
1. x=1
2. x=y
Zusammen x=y=1
und das Minimum, das f annimmt ist -1.