Anwendung der Grenzwertsätze:

Question

Die Aufgabe ist:

N'abend :-)

Die Aufgabe: Berechnen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge (a_n) für a_n = (4n² - 17) / (3n² + n).

Im Buch steht: Man erweitert bei Brüchen Zähler und Nenner mit dem Kehrwert der höchsten auftretenden Potenz von n. Gilt diese Regel immer, beim bestimmen von Grenzwerten?

Ich würde wie folgt vorgehen:
a_n = (4n² - 17) / (3n² + n).
a_n = (4n² - 17) / (3n² + n) * (n^-2) / (n^-2).
an = (4 - 17/n²) / (3 + 1/n).

Soweit so gut. Im Buch steht jetzt: Wegen lim(n -> ∞) 4 = 4, lim(n -> ∞) 17/n² = 0 ..... usw. gilt .... (Die Rechnung mit dem Grenzwertsatz). Die Sätze verstehe ich, aber wie kommt man auf die Behauptung das 17/n² = 0 ist? Gilt dies für alle Zahlen, welche eine Variable haben? Und wieso wird nicht das MINUS vor 17/n² berücksichtigt?

Sonst ist alles simpel zu verstehen.

Vielen Dank :-) Grüßle Florean

Answer 1

Hi Florean,

wenn Du Dich frisch mit Grenzwerten auseinander setzt, so finde ich, ist es ganz sinnvoll immer einen Taschenrechner nebenbei liegen zu haben. Da kannst Du dann nämlich einfach mal große Werte einsetzen und sehen was passiert.

Setze mal für 17/n^2 ein paar große Werte für n ein. Beispielsweise n = 1 000 oder n = 100 000. Du wirst feststellen, dass die Zahl sehr klein wird. Damit kannst Du dann allgemein aussagen, dass der Teil wohl gegen 0 gehen wird (das sollte nach ein paar Mal auch ohne Taschenrechner gehen. Den nur zu Beginn nutzen um ein Gefühl zu bekommen ;)).

an = (4 - 17/n²) / (3 + 1/n)

Schaust Du Dir also obiges nun im Limes an, dann fallen die jeweils letzten Summanden aus (das Vorzeichen ist natürlich generell wichtig, aber -0 oder +0 macht keinen Unterschied).

Über bleibt 4/3 ;).

Grüße

Comments

Cool meins ist also richtig :)

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Fast :D.

\(           \)

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Alles klar habe alles verstanden, danke dir Unknown :-)

Answer 2

Hi Florean :)

leider habe ich davon noch nicht richtig ahnung aber mal sehen :)

$$ a_n=\frac { 4n^2-17 }{ 3n^2+n }= \lim_{n\to∞} \frac { n^2(4-\frac { 17 }{ n^2 }) }{ n^2(3+ \frac { n }{ n^2 }) }= 4/3  $$

Grenzwert ist also 4/3 :) 

PS: $$ \frac { 1 }{ n }=0 $$ sind Nullfolgen :) 

Du klammerst die höchste Potenz aus also n² und dann schaust Du. Nullfolgen weißt Du jetzt und also bleibt nur noch  4/3 übrig :)

Comments

Zweiter Teil im Nenner hast Du n^2/n stehen. Das muss genau umgedreht sein ;). Sonst siehts gut aus!

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Ok habs geändert. Danke =)

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Jap der Grenzwert ist 4/3 :-) Auch ein Dank an dich Emre!

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Bitte Florean :)