Zahlentheorie, Geometrie, Pentagramm: Wie kommen die Autoren auf diese Schlussfolgerungen?

Question

Ich habe bei Google Books diese Seite gefunden (S. 2).

Als Meditationsthema hatte er sich die Lehre seines Meisters, ,Alles ist Zahl" und das Geheimzeichen des Bundes der Pythagoräer, das Pentagramm, gewählt. Die Blume im Sand regte ihn dazu an. Er fragte sich:
Gibt es ein gleichschenkliges Dreieck mit Basiswinkel \( 72^{\circ} \) und dessen Seitenlängen natürliche Zahlen sind? Der Dämon hat alle natürlichen Zahlen \( x \) anzumalen, die als Basen solcher Dreiecke auftauchen können. Wir werden ihn lange verfolgen können und keine solche Zahl finden. Angenommen es gibt überhaupt solche Zahlen. Dann gibt es eine kleinste solche natürliche Zahl \( x \). Sei \( y \) der dazugehörige Schenkel. Es ist \( x<y \), da dem größeren Winkel die größere Seite gegenüberliegt. Wir betrachten die Diagonale \( A C \). Es ist die Winkelhalbierende des Winkels \( \alpha=\angle B A D \). Sie schneidet den Schenkel \( [B, D] \) in \( F \). Dann sind die Dreiecke \( \triangle B F A \) und \( \triangle D A F \) gleichschenklig. Also ist \( \overline{F D}=x \) und \( \overline{F B}=y-x . \) Da \( y \) und \( y-x \) natürliche Zahlen sind, hat das Dreieck \( \triangle B F A \) wieder die gewünschten Eigenschaften. Es ist aber \( y-x<x \) im Widerspruch zur Wahl von \( x \).

Behauptung: Es gibt kein gleichschenkliges Dreieck mit Basiswinkel 72°, das drei ganzzahlige Seitenlängen hat.

Ich komme da bei den Gedankengängen nicht ganz mit... habe ich mangelndes Vorwissen oder ist das tatsächlich etwas unklar formuliert?

Comments

Hi,

Du musst uns sagen wo es bei dir hapert, damit wir wissen was genau du nicht verstanden hast. Sonst kann ich nur wieder das sagen was im Buch steht ;-D

- Was sind deine Kentnisse?

- Was verstehst du nicht?

Gruss

---

Okay, dann ist das Problem also bei mir zu suchen. ;-)

Ich verstehe schon einmal nicht, warum AC die Winkelhalbierende von BAC sein soll... ist sie nicht die Winkelhalbierende von ADB ?

---

Das steht dort schon richtig. Der mittlere Buchstabe in einer Winkelbeschreibung liegt immer in dessen Scheitel.

Zeichne das Fünfeck mal vergrössert ab und schreibe die erwähnten 72° Basiswinkel und sämtliche 36° Winkel an, die du da findest (Sternspitzen und allenfalls auch daneben. 72° = 36° + 36°.

---

Wenn AC eine Winkelhalbierende von BAC ist, dann ist AF doch ein Intervall von AC oder nicht? So sieht es zumindest auf meiner Zeichnung aus...

---

Das steht dort gar nicht.

Answer 1

Das steht dort schon richtig. AC ist die Winkelhalbierende in ∠BAD. Der mittlere Buchstabe in einer Winkelbeschreibung liegt immer in dessen Scheitel.

Zeichne das Fünfeck mal vergrössert ab und schreibe die erwähnten 72° Basiswinkel und sämtliche 36° Winkel an, die du da findest (Sternspitzen und allenfalls auch daneben. 72° = 36° + 36°.

Die ganze Argumentation ist ein indirekter Beweis. Man nimmt  an, dass die Behauptung falsch ist, d.h., dass es eine ganzzahlige Lösung gibt und führt das zu einem Widerspruch. Damit ist indirekt ist gezeigt (=bewiesen), dass die Behauptung richtig ist.