Integral von sin(5x^2).

Question

Wie berechne ich das folgende Integral?

∫sin(5x^2)

Habe im Moment leider überhaupt keine Idee dazu.

Answer 1

$$\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$$$\sin5x^2=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(5x^2)^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{4k+2}$$$$\int\sin5x^2\,\mathrm dx=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{4k+3}\frac{5^{2k+1}}{(2k+1)!}x^{4k+3}+C.$$

Comments

Danke für deine Antwort! Sieht wirklich kompliziert aus, so eine Darstellung! Ist aber doch nachvollziehbar, wenn man es mal vor sich sieht. !!

Answer 2

Hallo Sommersonne,

da wird es tatsächlich schwierig, zu helfen. Für dieses Integral gibt es eigentlich keine Standard-Lösungsmethode, und man ist wohl entweder auf Näherungslösungen durch numerische Integration (falls es um ein bestimmtes Integral mit konkret gegebenen Unter- und Obergrenzen geht) oder auf eine Reihendarstellung angewiesen (falls eine Stammfunktion angegeben werden soll).

Frage also: wozu genau brauchst du dieses Integral ?

LG ,   Yakob

Comments

Danke für deine Antwort! Ich wollte nur wissen, ob man so etwas auch mit den Standardmethoden lösen kann. Wie würde denn so eine Reihendarstellung aussehen?

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Hallo Sommersonne,

anstatt es mittels Summenzeichen zu notieren (wie oben), kannst du es auch etwas "gemütlicher" haben:

Geh aus von der Sinusreihe

$$\qquad sin(t)\ =\ t\,-\,\frac{t^3}{3!}\,+\frac{t^5}{5!}-\,\frac{t^7}{7!}\,+\frac{t^9}{9!}\,......$$

Setze da anstelle von t überall  5x²  ein. Die resultierende Reihe kann man gliedweise integrieren, so wie man ein gewöhnliches Polynom integriert. Natürlich hat diese Methode nur eine ziemlich begrenzte Genauigkeit und ist wohl nur für x-Werte mit  |x|<1  wirklich einigermaßen brauchbar.

LG ,   Yakob

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@Yakob:

Wenn Du anstatt den Dollarzeichen \( und \) verwendest, \(so\;\; kannst\) Du in einer Zeile schreiben :).

Grüße

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merci beaucoup !

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Hallo Yakob,

danke für deinen Tipp zur gemütlichen Methode. Ist für mich auch sehr gut nachvollziehbar. !!

LG

Sommersonne

Answer 3

Man kann hier keine Stammfunktion ermitteln !