Logarithmen - Gleichungen

Question

Kann mir bitte jemand helfen, folgende Gleichung zu lösen?

5^2x - 3 · 5^x = 4

Und diesen Term soll ich nach Logarithmengesetz vereinfachen:

ln (1/2) + ln (2/3) + ln (3/4) + ln (4/5) + .... + ln (999999/1000000) =

Für Antworten bin ich euch sehr dankbar!

Herzliche Grüsse

Chips

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Herzlichen Dank!

Gruss

Chips

Answer 1

Hi Chips,

das erste löse mittels Substitution:

5^{2x} - 3*5^x - 4 = 0       |5^x = u

u^2 - 3u - 4 = 0                |pq-Formel

u₁ = -1 und u₂ = 4

Nun Resubst.

Erster Lösung brauchen wir schon gar nicht mehr anzuschauen. Diese entfällt, da 5^x nie negativ wird.

4 = 5^x

x*ln(5) = ln(4)

x = ln(4)/ln(5)

--------------------------------

ln (1/2) + ln (2/3) + ln (3/4) + ln (4/5) + .... + ln (999999/1000000) =

Beachte: ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

Wenn Du Dir das anschaust kürzen sich damit alle Summanden weg bis auf

ln(1) - ln(1000000) = -ln(1000000),

denn ln(1) = 0

Grüße

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Herzlichen Dank!

Gruss

Chips

Answer 2

im ersten Beispiel solltest du die Substitution  u:=5^x  verwenden, die entstehende (quadratische) Gleichung nach u auflösen und dann mittels Logarithmieren die x-Werte berechnen.

Im zweiten Beispiel brauchst du fast nur die Regel für die Zerlegung eines Ausdrucks der Form  ln(a/b) in einen neuen Term, in welchem ln(a) und ln(b) auftreten.

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Herzlichen Dank!

Gruss Chips

Answer 3

Berechnung ohne Substitution:

5^2x - 3 · 5^x = 4

(5^x-1,5)^2=4+2,25=6,25|\( \sqrt{} \)

1.)5^x-1,5=2,5
 5^x=4

x*ln5=ln4

x₁=\( \frac{ln4}{ln5} \)

2.)5^x-1,5=-2,5

5^x=-1 → keine Lösung in ℝ