Verhalten an den Polstellen untersuchen f(x) = 1/(x^2-4)

Question

Ich habe folgende Funktion gegeben und soll deren Verhalten an den Polstellen untersuchen.

\( f(x)=\frac{1}{x^{2}-4} \)

Die Funktion besitzt 2 Polstellen. -> Bei x = -2 und x = 2.

Laut Graph müsste bei jeder Polstelle einmal nach ∞ und einmal nach -∞ raus kommen.

Allerdings bekomme ich immer nur ∞ raus?

Verhalten an den Polstellen:
von links: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(2-h)^{2}-4}=\frac{1}{4-4 h+h^{2}-4}=\frac{1}{4-0+0-4}=\infty ? \)
von rechts: \( \operatorname{vin} R \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(2+h)^{2}-4}=\frac{1}{4+4 h+h^{2}-4}=\frac{1}{4+0+0-4}=\infty \)
von links: \( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{(1-2)-h)^{2}-4}=\frac{1}{4+4 h+h^{2}-4}=\frac{1}{4+0+0-4}=\infty \)
von rechts: \( \operatorname{vin} R \cdot \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{((-2)+h)^{2}-4}=\frac{1}{4-4 h+h^{2}-4}=\frac{1}{4-0+0-4}=\infty \) ?

Jetzt wüsste ich gern wo mein Fehler liegt.

Answer 1

f(x) = 1/(x^2 - 4)

Die Nullstellen des Nenners ± 2 sind hier klar die Polstellen.

Aufgrund der Symmetrie zur y-Achse braucht man eigentlich nur das verhalten um 2 zu ergründen.

Was passiert wenn du etwas weniger als 2 (z.B. 1.9) oder etwas mehr als 2 (z.B. 2.1) einsetzt ? 

lim (x → 2^-) 1/(x^2 - 4) = 1/(-0) = -∞

lim (x → 2⁺) 1/(x^2 - 4) = 1/(0) = ∞

Aufgrund der Symmetrie kennt man jetzt auch das Verhalten bei -2.

Comments

Hmm, wir hatten solche Aufgaben bisher immer mit diesen h als Abstand der gegen 0 geht gelöst.

Aber scheinbar scheint dies hier nicht zu funktionieren.

Wie sich die Funktion verhält kann ich mir immer ganz gut vorstellen, allerdings hapert es immer bei Nachweis.

Werde mir auf jeden Fall den Lösungsweg merken :-).

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Doch das Funktioniert hier genau so

lim (x → 2 - h) 1/((2 - h)^2 - 4) 
lim (x → 2 - h) 1/(4 - 4h + h^2 - 4) 
lim (x → 2 - h) 1/(h^2 - 4h) 
lim (x → 2 - h) 1/(h(h - 4)) = -∞

Für kleine h ist h * (h - 4) natürlich negativ

lim (x → 2 + h) 1/((2 + h)^2 - 4)
lim (x → 2 - h) 1/(4 + 4h + h^2 - 4) 
lim (x → 2 - h) 1/(h^2 + 4h) 
lim (x → 2 - h) 1/(h(h + 4)) = ∞

Für kleine h ist h * (h + 4) natürlich positiv

Answer 2

die Fehler liegen da, wo Du die Fragezeichen gesetzt hast. In diesen beiden Zeilen ist 2-h bzw. h-2 für hinreichend kleine h betragsmäßig kleiner als 2 und somit wird der ganze Term negativ und strebt im Grenzfall gegen minus Unendlich.