Summe einer endlichen geometrischen Reihe berechnen

Question

Ich sollte die Summe der folgenden geoemtrischen Reihe berechnen

1+2;+4;+8+ ................... +1024

S_n= b₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)      q = 2

So, wie geht man nun vor? zuerst braucht es ja das n, oder?

Also habe ich das mal so gemacht:

b_n= b₁ * q^(n-1)

1024= 1 * 2^(n-1)

log 1024 = log (n-1) * 2

log 1024 = n log * 2                        | :log2

log1024/log2 = n

512= n

Nun müsste man das n in die Summenformel einstezen:

S_n= 1 * 2^(512-1)/2^-1

Wenn ich das in den Taschenrechner eintippe kommt aber Error2

Comments

n=512 ist Unsinn, zähle mal die Summanden mit den Fingern ab!

Answer 1

1024= 1 * 2^(n-1) 

log 1024 = log (n-1) * 2   Diese zwei Schritte sind nicht zulässig

log 1024 = n log * 2   

Ich beginne nochmals hier:

1024= 1 * 2^(n-1)            | log

log 1024 = log(2^{n-1})

log 1024 = (n-1) log(2)

log(1024)/ log(2) = n-1

1 + log(1024)/log(2) = n 

11=n

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Vielen Dank, jetzt ist alles klar.

Answer 2

Schau mal unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

∑ (k = 0 bis n) 2^k = 2^{n + 1} - 1

∑ (k = 0 bis 10) 2^k = 2^{10 + 1} - 1 = 2^11 - 1 = 2048 - 1 = 2047

Comments

Die Reihe lautet ja wie folgt.

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

Normal könnte man das jetzt auch noch zur Kontrolle aufaddieren.

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Danke, für deine Antwort.

Ich sollte die Aufgabe aber mit der S_n= b₁* qⁿ -1/q -1 Formel lösen.

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Die Formel lautet sicher:

Sn = b1 * (q^n - 1) / (q - 1)

Etwas Klammern sollte schon möglich sein.

Was ist denn b1, q und n in diesem Zusammenhang? Warum schaffst du es nicht die Werte einzusetzen und das dann auszurechnen?

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Die Formel stimmt so, ja. Tut mir leid dass ich die Klammern vergessen habe.

 Ja also b₁ ist ja das erste Glied, in dem Fall 1. q ist der Quotient, der hier 2 ist. Das n haben wir immer mit der b_n = b₁ * q^(n-1) Formel ausgerechnet. Also die Formel umgeformt auf n und das n dann in die Summenformel eingesetzt. Wenn ich es schaffen würde ich nicht fragen, das ist ja das Problem.

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b1 ist 1 und kann also auch eben so gut weggelassen werden. q ist wie du sagst 2. damit kann auch der Nenner (q - 1 = 1) weggelassen werden. Bleibt also nur noch übrig q^n - 1 und nun schau mal auf meine Rechnung. Dann sollte eigentlich klar sein Das n hier 11 ist.

Man hat ja

2^0 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^10 und das sind jetzt 11 Summanden die zu addieren sind.

Die Formel wird aber auch manchmal anders aufgeschrieben. Aber das macht jeder Lehrer so wie es ihm gefällt.