1.) Die Voraussetzungen unterscheiden sich.
Bei der geometrischen Reihe muss gelten, dass \(|~q~|<1\), sonst konvergiert die Reihe gar nicht, während die zweite Formel für \(q≠1\) berechnet werden kann. (Für \(q=1\) kann man sich leicht überlegen, was rauskommen muss.)
2.) Es sind grundlegend andere Dinge.
Die geometrische Reihe ist, nun ja, eine Reihe. Also die Folge von Partialsummen, die entweder konvergiert oder nicht. Bei der Summenformel muss man sich über Konvergenz gar keine Gedanken machen. Da kommt stets ein endlicher Wert raus und die Formel kommt in vielen Kontexten vor, in denen man wirklich konkret Werte berechnen möchte und keine solche Folge betrachtet, sondern tatsächlich eine endliche Anzahl von Summanden (weil der Kontext zum Beispiel die Finanzmathematik ist und man nur endlich viel Zeit hat, also das Summieren an einem bestimmten Punkt beenden sollte…).
