Geometrischer Beweis der Summenformel einer geometrischen Reihe

Question

Von einem Rechteck ABCD der Breite BC=1 teilt FE II BC ein Einheitsquadrat ab.Das verbleibende Rechteck AEFD wird von GH II AE in zwei rechtecke zerlegt, von denen eines (GHFD) die Fläche q<1 hat und das andere (AEHG) ähnlich zu ABCD ist. Beweise auf dieser Grundlage die Summenformel für unendliche geometrische Reihen mit dem Quotienten q<1.

Comments

AB  =  1 / (1-q)

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Die Skizze ist sehr gut und zeigt schon das Wesentliche. Wie immer ergeht sich hj2166 nur in Andeutungen. Insbesondere fehlt jegliche Begründung für die Behauptung "AB  =  1 / (1-q)" unter der Skizze.

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@Roland: 

Alternative Skizze zu deiner Formel findest du hier:

http://www.mathematische-basteleien.de/geometrisch.htm#Geometrische Reihe 

bzw. http://www.mathematische-basteleien.de/geometrisch.htm#Unendliche geometrische Folge und Reihe

Überlege dir, was damit gezeigt ist. Ein paar Zahlenbeispiele sind dort erklärt. 

Answer 1

@ Roland :  

Also bitte :

Wegen der verlangten Ähnlichkeit entsteht jedes Rechteck aus seinem Vorgänger durch eine zentrische Streckung mit Streckfaktor k (0 < k < 1) und Streckzentrum A.
k  =  AE / AB  =  AG / AD  und mit den Abkürzungen  AE = a  und  AG = b   ergibt sich daraus
k  =  a / (a+1)  =  b.
Das Rechteck GHFD hat die Seiten a und 1-b ,  also ist  q = a*(1-b) = b (#)   und also auch  k = q
sowie  a + 1  =  a / b  =  1 / (1-b)  =  1 / (1-q) .

Und hier noch ein weiterer Hinweis :  Bei einer zentrischen Streckung mit Faktor k werden Flächen mit dem Faktor k^2 berechnet.

(#) Diese Umformung ist vielleicht für mathematisch weniger Geübte nur schwer zu verstehen und könnte von dir leicht mit dem Begriff "verwirrend" charakterisiert werden, deshalb und um Nachfragen deinerseits vorzubeugen :
a*(1-b)  =  a*(1 - a/(a+1) )  =  a* (a+1 - a) / (a+1)  =  a* 1/(a+1)  =  a / (a+1)

Comments

Hallo Gast hj2166, mir persönlich musst du gar nichts vorkauen. Ich hatte bereits deinen ersten Kommentat voll-inhaltlich verstanden. Die Tatsache, dass du Erläuterungen deiner Geistesblitze für überflüssig hältst, hatte ich ursprünglich für intellektuelle Überheblich keit gehalten. Später dann hatte ich diese Einschätzung korrigieren müssen. Aber nach diesem Kommentar erkenne ich doch wieder Anflüge von Überheblichkeit.

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@hj2166 Eine Begründung einer Behauptung von dir  vermisse ich trotz deiner Bereitschaft, mir alles vorzukauen. Und zwar hattest du ein Bildungsgesetz einer Zahlenfolge von mir mit a_n=abgerundet(φ·n) mit φ=(1+√5)/2 benannt. Kannst du mir den Weg zu dieser Formel auh mal "vorkauen"?

Answer 2

Die Summe der einzelnen Quadrate \( \sum_{k=0}^\infty  q^k \) entspricht der gesamten Fläche, also  \( \overline{AB} \cdot 1 = \overline{AB} = \sum_{k=0}^\infty  q^k\)

Und aus der Tatsache, dass die Rechtecke ähnlich sein müssen, folgt \( \overline{AB} = \frac{ \frac{q}{1-q} }{q} = \frac{1}{1-q} \)

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Comments

Die Summe der einzelnen Quadrate ... entspricht der gesamten Fläche

wenn du nur über die Quadrate argumentieren willst, dann gilt für ihre Seitenlängen
√1 + √q^2 + √q^4 + √q^6 + ...  =  1 + q + q^2 + q^3 + ...  =  AB