Stetigkeit von Funktion berechnen

Question

Entscheiden Sie, ob und ggf. wann die folgenden Funktionen stetig sind:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-x^{2}-3 x y}{x^{2}+y^{2}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0), \\ a & \text { für }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right\} \)

\( g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( g(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{-x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}-3 & \text { für }(x, y) \neq(0,0), \\ a & \text { für }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right\} \)

f ist ________

g ist ________

Kann mir jemand den Rechenweg zeigen, verstehe das nicht so richtig :/

Answer 1

Betrachte bei f etwa eine Folge von Punkten, die auf der

Geraden durch (0;0) mit der Steigung 2 liegen. Wenn diese Folge

gegen (0;0) konvergiert, dann konvergieren die Funktionswerte

gegen -7/5.

Auf einer Geraden mit der Steigung 1 allerdings gegen -2.

Also gibt es kein a, so dass sie immer gegen a konvergieren, also

ist f niemals stetig bei (0;0).

Bei g geht dabei der Term -x^2*y / ( x^2 +y^2) allerdings immer gegen 0, also

ist das stetig, wenn man a=-3 wählt.

Answer 2

Zu \(f\): Es ist $$\lim_{n\rightarrow\infty}f(\frac{1}{n},\frac{1}{n})=-2$$ aber $$\lim_{n\rightarrow\infty}f(\frac{1}{n},-\frac{1}{n})=1$$ Damit existiert \(\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)\) nicht:
\(f\) ist für kein \(a\) stetig in \((0,0)\).

Zu \(g\): $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}|g(x,y)+3|=\lim(|y||\frac{x^2}{x^2+y^2}|)\leq \lim|y|=0$$ Also$$\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}g(x,y)=-3$$ Setzt man also \(g(0,0)=-3\), so wird \(g\) stetig in \((0,0)\).

Comments

Wie kommst du jetzt genau auf die -2 da oben?

und meinst du wenn man g (x,y) (0,0) setzt, dass man dann \( \frac{-0^2*0}{0^2+0^2} \) -3 rechnet, -3 rauskommt und dann ist g stetig in (0,0) ?

Weil ich berechne das so und bekomme kein Ergebnis...

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Was hast du denn für \(f(1/n,1/n)\) ausgerechnet?

Zu g: du musst schon eine Limes-Betrachtung machen und nicht einfach
\(x=y=0\) setzen; denn dann ist der Ausdruck ja gar nicht definiert ...

Gruß ermanus