Grenzwert der Folge berechnen. a_n = (4^n · n^4 + n^6) / 5^n

Question

$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { 4 }^{ n }{ n }^{ 4 }+{ n }^{ 6 } }{ { 5 }^{ n } }  } $$

Wie komme ich hier auf den Grenzwert? Im Normalfall teilt man durch den höchsten Exponenten, aber wegen "hoch n" komme ich leider nicht weiter.

Answer 1

Im Zähler klammern wir mal 4^n aus

4^n * (n^4 + n^6 / 4^n) / 5^n

Jetzt können wir die 4^n / 5^n zusammenfassen

 

(4/5)^n * (n^4 + n^6 / 4^n)

Für (4/5)^n ist der Grenzwert 0

Für n^4 ist der Grenzwert unendlich

für n^6 / 4^n ist der Grenzwert 0 weil 4^n schneller gegen unendlich geht als n^6.

Damit steht dort eigentlich 0 mal unendlich. Allerdings strebt (4/5)^n schneller gegen Null als n^4 gegen unendlich. Damit ist der gesamte Grenzwert 0.

Comments

Vielen Dank für die Antwort. Aber ich denke, die Begründung, dass es "schneller" oder "stärker" gegen unendlich bzw. null läuft ist nicht ausreichend.

 Ich habe das jetzt so umgeformt:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 ^ { n } n ^ { 4 } + n ^ { 6 } } { 5 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 \sqrt [ n ] { n ^ { 4 } } + \sqrt [ n ] { n ^ { 6 } } } { 5 } = \frac { 4 } { 5 } \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n - 4 ] { n } + \sqrt [ n - 6 ] { n } $$

Kann man damit was anfangen?

---

Merke grade, dass ich bim 4/5 ausklammern ein Fehler gemacht hab.

muss ( ^n-6√n) /4 heißen am ende

---

Du ziehst ja die n. Wurzel. Darfst Du dann einfach die n. Wurzel aus jedem Summanden nehmen?

Und dann formst Du um 

n.Wurzel aus n^4 = n^{n-4}

mit welcher Berechtigung machst du das? Müsste das nicht dann eher n^{4/n} sein?