Ab welchem Folgenglied sind alle Glieder kleiner als ein Millionstel?

Question

Aufgabenstellung: Ab welchem Folgenglied sind alle Glieder kleiner als ein Milionstel?

⟨16; 4; 1; ..........⟩

1.       b_n = b₁ * q^n-1 < 1/1000000

2.       16 * (1/4)^n-1 < 1/1000000   |:16

3.       1 * (1/4)^n-1 < (1/1000000)/16

4.        1 * (1/4)^n-1 < (1/1000000) * (1/16)

5.         1 * (1/4)^n-1 < (1/16000000) 

6.         (n-1) log(1/4) < log(1/16000000)    |: log(1/4)

7.         n-1 > 11.9657842847            |+1

8.        n > 12.97

Wieso steht bei Zeile 4 auf einmal * (1/16)? Darf man die 16/1 einfach so umdrehen? Und wieso ist das bei Zeile 7 auf einmall > statt < ?

Ich bitte um eine Erklärung, etwas kann doch hier nicht stimmen.

Answer 1

Wenn man 2 Brüche durcheinander dividiert, kann man auch den ersten mit dem Kehrwert des Zweiten multiplizieren.

Bsp.

(2/3) / 3 = (2/3)/(3/1) = 2/3 * 1/3 = (2*1)/(3*3) = 2/9

Comments

Und wieso ist das bei Zeile 7 auf einmall > statt < ?

Logarithmen von Zahlen zwischen 0 und 1 sind negativ. Und: Wenn bei einer Ungleichung rechts und links durch eine negative Zahl dividiert wird, muss man das Ungleichheitszeichen umkehren.

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Der log von 1/4 ist negativ. Wenn man durch eine negative Zahl teilt, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht

werden. 

-2x < 10

x > -5

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Danke, sollte mir doch eigentlich klar sein, ist mir fast schon peinlich dass ich nicht draufgekommen bin.

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Hauptsache es ist jetzt klar.

Answer 2

Merke:

Anstatt durch einen Bruch zu dividieren, kannst du mit seinem Kehrwert mutiplizieren.

Merke:

Wenn du in einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst/dividierst dreht sich das Zeichen um. Also > wird zu < usw.

Gruss