50 natürliche Zahlen, durch keine Zahl teilbar und Produkt zweier Zahlen...

Question

Bestimme 50 natürliche Zahlen so, dass keine der Zahlen durch irgendeine andere teilbar ist und das Produkt zweier beliebiger dieser 50 Zahlen durch jede übrige Zahl teilbar ist.

Herzlichen Dank:-) Ihr seid super:-)

Comments

Wow was für Aufgaben :O Interessieren mich auch sehr, die lösungen. schöne Aufgaben.

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Ist das eine Wettebewerbsaufgabe? Sie klingt so ;).

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Mh, das könnte gut sein... Auch thematisch wäre sie typisch.

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So sehen meine Hausaufgaben aus, ist also kein Wettberwerb leider:-(

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Zu welchem Thema gehören diese Hausaufgaben?

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Das sind aber sehr seltsame Hasuaufgaben, für den Unterricht ist die sowieso untypisch, aber eine Hausaufgabe... kann ich mir nur schwer vorstellen.

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Hier mal Beispiele für kleinere Zahlenmengen mit

3 Zahlen:   { 6, 10, 15 }

4 Zahlen:   { 30, 42, 70, 105 }

Ob das eine Wettbewerbsaufgabe ist, weiß ich nicht,
da sie aber nicht sehr schwierig zu lösen ist und mit
50 Zahlen eher aufwändig zu notieren, vermute ich
dies nicht.

Answer 1

sei \( P_{50} = \prod_{i=1}^{50} p_i \) das Produkt der ersten \( 50 \) Primzahlen \( p_i \).

Dann gilt die besagte Eigenschaft für die Zahlen

\( \frac{P_{50}}{p_i} = p_1 \cdot p_2 \cdot \dots p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot \dots \cdot p_{50} \) mit \( i=1, \dots, 50 \).

Mister

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Hi,

2 --> Primzahl --> p₁

3 --> Primzahl --> p₂

5 --> Primzahl --> p₃

2*3 = 6 --> Das Produkt von p₁ und p₂.

 "und das Produkt zweier beliebiger dieser 50 Zahlen durch jede übrige Zahl teilbar ist."

Aber p₁ * p₂ = 6, ist nicht durch 5 teilbar, ebenso wenig durch 7 usw.

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Dann lies etwas genauer was Mister geschrieben hat ...

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Er teilt durch p_{_}i, das habe ich gelesen.

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Genau. Die Zahlen sind daher nicht 2, 3 und 5.

Answer 2

Das Produkt der ersten 50 Primzahlen ist laut Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=prod_k%3D1%5E50+Prime%28k%29

19078266889580195013601891820992757757219839668357012055907516904309700014933909014729740190

Diese Zahl muss man jetzt durch jeweils eine der 50 Primzahlen teilen und erhält so die 50 Zahlen auf die die Bedingung zutrifft.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28product_k%3D1%5E50+Prime%28k%29%29%2FPrime%28n%29