Ein Pythagoreisches Dreieck:Beweise Radius des Dreieckes immer natürlich

Question

Ein Pythagoreisches Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck mit natürlicher Seitenlängen a, b und c. (alle Seiten sind natürlich!)

Beweise nun, dass der Radius eines pythagoreischen Dreiecks immer natürlich ist.

Herzlichen Dank: Ihr seid die Besten:-)

Comments

Was ist gemeint mit natürlicher Radius?

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Wo ist von einem natürlichen Radius die Rede? Ich sehe nur natürliche Zahlen.

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Die Frage ist doch wohl eher: Was ist mit "Radius" gemeint?

Na ja, vermutlich der Inkreisradius.

Formulierung der Aussage, Beweisidee und Quelle können nachgelesen werden unter:

http://mathworld.wolfram.com/RightTriangle.html

(in den zehn Zeilen nach Gleichung (8)).

Answer 1

Jedes pythagoräische Tripel

a^2 + b^2 = c^2

kann geschrieben werden mit

a = m^2 - n^2
b = 2·m·n
c = m^2 + n^2

m und n sind hier ganze Zahlen.

(m^2 - n^2)^2 + (2·m·n)^2 = (m^2 + n^2)^2

Für den Radius gilt

r = a·b/(a + b + c) = (m^2 - n^2)·(2·m·n)/((m^2 - n^2) + (2·m·n) + (m^2 + n^2))
r = (m^2 - n^2)·(2·m·n)/(2·m^2 + 2·m·n)
r = n·(m - n)

Damit ist r eine ganze Zahl.