Question

Für alle n≥1 gillt:

$$ \prod _{ k=2 }^{ n }{\left( 1-\frac { 1 }{ k^2 } \right)   }=\frac { 1 }{ 2 }\left( 1+\frac { 1 }{ n } \right)    $$

Comments

Das kann gar nicht stimmen. Links ist ein Produkt von Zahlen  kleiner als 1, also insgesamt kleiner als 1. Die Zahl rechts ist größer als 1.

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Steht aber so im Buch

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Die Zahl rechts ist auch kleiner als  1.

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@Gast jd131:

"Die Zahl rechts ist größer als 1."

Nope.

Setze bitte rechts zum Beispiel einmal für n die 5 ein, so ergibt sich:

1/2 * (1 + 1/5) = 1/2 * 6/5 = 3/5 < 1

Besten Gruß

Answer 1

Beweis über vollständige Induktion:

Wir müssen zunächst zeigen das es für n = 2 gilt.

1 - 1/2^2 = 1/2 * (1 + 1/2)
1 - 1/4 = 1/2 * (3/2)
3/4 = 3/4

Das stimmt also. Nun zeigt man das wenn es für n gilt, es auch für n+1 gilt

∏ (k = 2 bis n + 1) (1 - 1/k^2) = 1/2 * (1 + 1/(n + 1))
∏ (k = 2 bis n) (1 - 1/k^2) * (1 - 1/(n + 1)^2)= 1/2 * (1 + 1/(n + 1))
1/2 * (1 + 1/n) * (1 - 1/(n + 1)^2) = 1/2 * (1 + 1/(n + 1))
... (n + 2)/(2·(n + 1)) = (n + 2)/(2·(n + 1))

wzbw.

Comments

Mathecoach ich hoffe ich nerv dich nicht, aber wenn ich mal eine Aufgabe probiere, würdest Du es dann mal korrigieren? Also mit vollständiger Induktion? :)

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Probier es mal.

Irgendeiner wird es sicher berichtigen.

Was ist jetzt eigentlich mit deiner Schule? Bist du jetzt privat angemeldet ?

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Also ich mach jetzt mein Fachabitur :-)

aber ich hatte mich auch für eine Schule angemeldet (normales Gymnasium also gymnasiale Oberstufe) und mir wird erst am 3.09 bescheid gesagt ob ich angenommen werde oder nicht :-)  Ja das ist eine Privatschule

Für Fachabitur wurde ich aber schon vor den Sommerferien angenommen:)