Exponentialgleichung Substitution: 3^{2x} - 2*3^x + 1 = 0

Question

Habe noch eine Aufgabe, bei der ich gar nicht klar komme (die Methode von gerade eben funktioniert nicht). Normales Logarithmieren funktioniert auch nicht. Hier gab unser Lehrer den Tipp „Substitution“. Hatten das zwar einmal im Unterricht gerechnet, komme aber nicht drauf

3^{2x} - 2*3^x + 1 = 0

Comments

Wie wärs mit a := 3^x.

Answer 1

Hi :),

da geht der "Trick" mit dem Ausklammern von gerade eben wirklich nicht. Der Lehrer hat den ultimativen Tipp schon geliefert. Substitution ist hier das Stichwort.

Was Dir hier auffallen darf ist, dass 3^{2x} = (3^x)^2 ist. Ganz nach den Potenzgesetzen.

(3^x)^2 - 2*3^x + 1 = 0

Nun hast Du hier zwei identische Werte. Die kannst Du doch einfach mal durch etwas ersetzen. Nehmen wir mal u (x wäre eine schlechte Wahl, sonst aber beliebig ;)).

u^2 - 2*u + 1 = 0

Und an was erinnert Dich das nun? An eine quadratische Gleichung! Richtig!

Löse diese doch gleich mal mit der pq-Formel (oder Mitternachtsformel). Wenn Du ein gutes Auge hast, kannst Du auch die binomische Formel verwenden:

(u-1)^2 = 0

--> u_1,2 = 1

Du hast also mit der "vereinfachten" Gleichung u = 1 bestimmt. Wir wollen aber x haben. Resubstituiere also:

3^x = u = 1

Das sieht man sofort, hier muss x = 0 sein. Nur dann wird 3^x zu 1.

Es ist nun Deine Pflicht eine Probe zu machen. Diese passt hier und x = 0 ist in der Tat das Ergebnis dieses Problems!

Alles klar?

Grüße

Comments

Ich wünschte du wärst mein Lehrer. Sofort verstanden und die anderen Aufgaben selbst gelöst. Dickes

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Dass Du das auf andere Aufgaben übertragen konntest ist das größte Lob für einen Helfer! Freut mich!