Gruppentheorie. Beweisen dass neutrales und inverses Element einer Gruppe eindeutig

Question

Hi,

Es werden nochmal ein paar Fragen von mir kommen ;)

Satz:

In jeder Gruppe (G,◦) gilt:

• Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt.

• Für jedes Element a ∈ G ist das inverse Element a−1 eindeutig bestimmt. 

Das möchte ich beweisen. Ich möchte aber bitte keine Ganzlösung!! Nur ein paar Stupser in Richtung lösen, der Lerneffekt ist dann höher.

Gruss

Answer 1

Ich zeig dir mal a) und überlasse dir b)

• Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt.

Beweis indirekt.

Annahme: es gibt 2 neutrale Elemente e und f, mit e≠f

so gilt gemäss Definition e*f = e und e*f = f

Also e = f. Das widerspricht der Annahme e≠f.

qed.

Ich hoffe, du verstehst das so. Versuch das zu übertragen auf b)

• Für jedes Element a ∈ G ist das inverse Element a−1 eindeutig bestimmt. 

Mehr: mathelounge.de/67703/multiplikative-eindeutigkeit-multiplikativem-neutralem

Comments

Wieso e*f=2? Aber jetzt versteh ich: Es muss dann ja e*f=e sein, und f*e = f, also e=f... Danke, den 2. guck ich mir jetzt an :-)

---

Danke. Korrigiert. Hatte offenbar das e nicht getroffen.

---

So ich schiess jetzt einfach los^^:

Annahme: Es gibt zwei Inverse Elemente zu a: x und y.

Also muss: a*x = e und a*y=e, daher a*x = a*y. Darf ich daraus folgern, dass x=y ist? Und wenn ja, auf welchem Gesetz der Gruppe oder Axiom baut das auf?

---

Hatte offenbar das e nicht getroffen.

Was meinst du damit?

---

Nein. Aber du darfst jedes Element von G mit e multiplizieren und das Assoziativgesetz benutzen.

---

Also die Kürzungregel wurde noch nicht bewiesen, die kommt noch.

---

Aber du darfst jedes Element von g mit e multiplizieren und das Assoziativgesetz benutzen.

G = {g*e : g ∈ G und e ist das neutrale Element}

---

a*x*e = a*y*e 

a*(x*e) = a*(y*e)

Hm, ich hänge.

---

https://www.mathelounge.de/67703/multiplikative-eindeutigkeit-multiplikativem-neutralem

---

Danke, ist jetzt klar :)

---

Bitte gern. Man darf es auch ausführlicher als im LInk hinschreiben.

---

Ja, das stimmt. Beweise schreibe ich (im Heft) immer sehr ausführlich, aber nicht hier, dafür bin ich zu faul^^