Gruppentheorie: Ganze Zahlen, Satz beweisen

Question

Wieder Gruppentheorie, es werden auch noch weitere Fragen kommen. Aber keine Angst ich bin schon bei Seite 7... von 97 Seiten ^^ 

Es sei (U,+) eine Untergruppe von (ℤ,+) und U ≠ {0}. Dann gilt: 

• U enthält eine positive Zahl. 

• Ist u die kleinste positive Zahl in U, so gilt U = u·Z = {u·z | z ∈ Z}. 

Nun der erste Punkt müsste doch so gehen:

1. Fall:

Seien alle Elemente von U positiv, dann gibt es auch ein Positives Element.

2. Fall:

Es existiert ein negatives Element a. Laut Gruppenaxiom muss es somit auch ein Inverses geben, a^-1. Das neutrale Element ist bzgl Z natürlich die 0, daher a<0. Deshalb ist a^-1>0. Sprich positiv.

Reicht das so aus?

Bei 2., nehmen wir mal an: U ≠ Z und u = 1, dann ist doch u*Z = Z ≠ U. Hmm?

Danke, Gruss

Comments

Wie ist denn positiv genau definiert? Dein Beweis müsste irgendwie was mit der Definition zu tun haben.

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Positiv ist in Z bzgl + jede Zahl grösser 0, oder etwa nicht?

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Mit Gruppe (Z, +)

ist die Menge der ganzen Zahlen gemeint, auf der die Addition als Verknüpfung gemeint ist.

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Ja, das habe ich doch auch so in meine Begründung (falls sie richtig ist) eingebaut.. :?

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Du sollst da beweisen, dass jede Untergruppe (mindestens) ein positives Element enthält.

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Hab ich das denn nicht gemacht? Es gab im 2. Fall mind. ein negatives Element (die Annahme des Falles), und dann habe ich gezeigt, dass das Inverse (das muss ja existieren) positiv ist.

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Das ist eine additiv notierte Gruppe. Damit schreibst dich das Inverse als -a nicht \(a^{-1} \).

Es \(  a < 0 \) folgt i.A. \( a^{-1} < 0 \).

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Ok, ist die Idee oben in der Frage richig gedacht? @Gast

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Das Problem deines Beweises hat Lu im ersten Kommentar angesprochen: Wie habt ihr positiv definiert?

Damit musst du deine Beahuptung \( a < 0 \Rightarrow -a > 0 \) beweisen.

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Positiv haben wir so direkt noch gar nicht definiert..