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Hi,

Ist (G, ) eine Gruppe, dann ist eine nicht leere Teilmenge U von G genau dann Untergruppe von G bzgl. , wenn gilt:
Für beliebige
a, bU ist auch ab1 U.

Bitte einen Denkstoss. Danke... 

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Du kannst die beiden Richtungen der Aussage getrennt untersuchen:

(1) Wenn U eine Untergruppe von (G,☼) und a, b ∈ U ist, dann ist a☼b−1 ∈ U.

(2) Wenn U eine nicht leere Teilmenge von G ist und für alle a, b ∈ U auch a☼b−1 ∈ U ist, dann ist U eine Untergruppe von (G,☼).

(1) sollte eher einfach sein und bei (2) könnte man die Gruppenaxiome abklappern.

1 Antwort

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Mal in eine Richtung Voraussetzung:
Für beliebige abist auch ab^{1} U.

Gemäss Untergruppen- Definition in Wikipedia musst du zeigen, dass

1. Für beliebige abist auch ab U und 
2. Für beliebige aist auch a^{1} U

Beweis: Beginne mit 2. 
Sei a∈U und b=a so ist  wegen ab^{1} U auch a◦a^{1} = e U.
nun wegen e◦a(1) U auch a^{-1} U.
Nun noch zu 1. Seien abso ist auch b^{-1}U .
und wegen der Voraussetzung  auch a*(b^{-1})^{-1} = a*b  


Soweit klar? Dann kannst du dich nun noch an der Gegenrichtung versuchen.EDIT: Hoffentlich bleibt nun die Gliederung beim Speichern bestehen.
Avatar von 162 k 🚀

Fast klar.

Wieso: "nun wegen e◦a(−1) ∈U". Wieso ist e*a-1 aus U, nur weil e ∈ U? Danke :)

Vorausgesetzt e und a sind Elemente von U und dann die Formel x*y^{-1} benutzt.


a hatten wir ja als Element vorausgesetzt, da U nicht leer ist. Und dann haben wir festgestellt, dass e in U sein muss.

Ok, a und e sind aus G. Das neutrale Element haben wir schonmal. Wenn nun a,b aus U sind, und a*b-1 ebenfalls aus U sein soll, dann muss es zu b ja ein inverses geben?

Zumindest ein Inverses von b. Aber du kannst a ja auch b nennen.

e*b^{-1} = b^{-1}

und

e*a^{-1} = a^{-1}

Hm, wie soll ich zeigen, dass zu jedem \(n \in U\) ein Inverses existier, wenn a*b-1 ∈ U?

Voraussetzung immer noch:  
Für beliebige abist auch ab-1 U.

Und du hast schon e ∈ U?

Wenn nicht, setze n als a und als b ein:

n*n^{-1} = e ∈ U

und nun

e*n^{-1} = n^{-1} ∈ U

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