Bestimme die Parameter von q(n): = ∑(1/2)^k . q(n)= u/v.

Question

Bestimme die Parameter von q(n) = ∑(1/2)^k = u/v.

Mit dem folgendem kann ich irgendwie nix anfangen:

q(n) wird definert als: \( \sum \limits_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^{k} \)

und für q(n) gilt: u/v

Was ist nun u/v?

Answer 1

Das könnte folgendermassen gemeint sein:

q(0) = (1/2)^0 = 1 = 1/1 = 2-1 = 2 - 1/2^0

q(1) = (1/2)^0 + (1/2)^1 = 3/2 = 2-1/2 = 2- 1/2^1

q(2) = (1/2)^0 + (1/2)^1 + (1/2)^2 = 7/4 = 2 -1/4 = 2-1/2^2

...

allgemein

q(n) = 2 - 1/2^{n}

Jetzt noch auf einen Bruchstrich bringen

q(n) = 2 - 1/2^{n}  = (2*2^n - 1)/(2^n)

Bitte bis hierhin mal kontrollieren und allenfalls korrigieren.

Zum Schluss ist nun q(n) ein gekürzter Bruch mit dem Zähler u = 2*2^n - 1 und dem Nenner v= 2^n.

(2*2^n - 1)/(2^n) = u/v

Es handelt sich hier um eine geometrische Reihe.

Wenn du weisst, was das ist, musst du nicht unbedingt zuerst die Summen von Hand ausrechnen und die Formel q(n) = 2 - 1/2^n erfinden.