Gegeben ist eine Funktionenschar fa(x)=(-1/a)*(x-2)^2*(x+4)

Question

Thema "Funktionenschar"

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{a}(\mathrm{x})=\frac{-1}{a}(\mathrm{x}-2)^{2} \cdot(\mathrm{x}+4) \).

a) Ermitteln Sie die Nullstellen der Funktionen \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \).

b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Extrema in Abhängigkeit vom Parameter a.

c) Weisen Sie nach: Die Koordinaten des Wendepunktes \( W_{a} \) des Graphen von \( \mathrm{f}_{4} \) sind das arithmetische Mittel der entsprechenden Koordinaten der Extrema.

d) Berechnen Sie a so, dass die Wendetangente die Steigung 2 besitzt.

e) Untersuchen Sie, ob die Wendenormale und die Gerade durch die beiden Extrema einer Funktion der Schar orthogonal zueinander liegen kōnnen.

Answer 1

a)

Die Nullstellen sind direkt abzulesen. Wir haben freundlicherweise den Ausdruck in Linearform vorliegen.

x_1,2 = 2 und x₃ = -4

b)

f'(x) = -1/a * 2(x-2) *(x+4) - 1/a * (x-2)^2 = -1/a(x-2) * (2x+8 + x-2) = -1/a*(x-2) * (3x+6)

Die Nullstellen kann man wieder direkt ablesen:

x₄ = 2 und x₅ = -2

Überprüfen mit der zweiten Ableitung und in f(x) einsetzen um die y-Werte zu erhalten.

c)

Das überlasse ich Dir. Bestimme die zweite Ableitung und setze den Punkt ein, den Du aus b) aus dem arithemtischen Mittel erhalten hast. Wenn dieser passt (also 0 wird), dann überzeuge Dich, dass er bei der dritten Ableitung nicht 0 wird)!

Grüße