Das Ziel ist es, eine Variable zu eliminieren (d.h. die Gleichung so umzuformen, dass z.B. 5x - 5x dort steht. Das wäre dann gleich 0, d.h. die Variable "x" wäre eliminiert). Der Grund ist: Man kann nur Gleichungen mit einer Variablen eindeutig lösen. Z.B. kann
x + y = 6 die Lösungen x = 3 und y = 3 haben, denn 3 + 3 = 6; oder x = 5, y = 1 -> 5 + 1 = 6. Genau gesagt, gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Wir suchen aber nur die eine Möglichkeit. Dazu müssen wir alle Variablen bis auf eine eliminieren.
In deiner Aufgabe multiplizierst du also eine Gleichung mit (-1), damit du in einer Gleichung 5x und in der anderen -5x stehen hast. Addierst du sie dann, wird 5x eliminiert.
I: 5x - 3y = -2
II: 5x - 7y = -38 | *(-1)
II*: -5x + 7y = 38
I + II: 5x - 3y - 5x + 7y = -2 + 38
4y = 36
An diesem Punkt hast du eine Gleichung mit nur noch einer Variablen, welche du eindeutig lösen kannst.
4y = 36 | :4
y = 9
y ist also 9. Setzt du das in die zweite Gleichung ein, hast du wieder eine Gleichung mit nur einer Variablen.
5x - 7y = -38
5x - 7 * 9 = -38
5x - 63 = -38 | + 63
5x = 25 | :5
x = 5
Damit hast du y = 9 und x = 5 gefunden, welche beide Gleichungen erfüllen (sollten).
Wir machen noch die Probe:
I: 5x - 3y = -2 -> 5 * 5 - 3 * 9 = 25 - 27 = -2 -> passt!
II: 5x - 7y = -38 -> 5 * 5 - 7 * 9 = 25 - 63 = -38 -> passt auch!
Damit sind die Lösungen x = 5 und y = 9.
