Matrizen multiplizieren/addieren

Question

Aufgabe:

Es seien folgende Matrizen gegeben

\( \begin{array}{c} A=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ -1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\ -2 & 5 & 0 \\ 3 & 4 & -2 \end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{cc} 3 & -1 \\ -5 & 0 \\ -2 & 4 \end{array}\right) \\ D=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 4 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{lll} -5 & 7 & -3 \end{array}\right) . \end{array} \)

Bestimmen Sie \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \) mit \( \lambda \cdot C+\mu \cdot D^{t}=\left(\begin{array}{cc}0 & -7 \\ -2 & 6 \\ 7 & -8\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Also ich verstehe die Aufgabe so C multipliziert mit etwas und D multipliziert mit etwas sollte die oben angegebene Matrize ergeben. Soviel ich aber weiß könnt ich aber schonmal C und D nicht addieren weil sie nicht gleich viel Spalten und Zahlen haben....

Muss aber zugeben dass ich auch kein verfahren außer probieren kenne mit dem ich die Matrize rausbekomme würde.

Hoffe mir kann wer helfen.

Comments

hab gerade gemerkt dass ich das kleine t übersehen habe, habe die matrix nun auch transponiert und jetzt kann mans addieren aber vll kann mir trotzdem wer bei den werten die zu multiplizieren sind helfen

laso

Answer 1

SOLVE([3·λ - 2·μ = 0, -λ + 3·μ = -7], [λ, μ])

λ= -2; μ= -3

Answer 2

Hallo,

Muss aber zugeben dass ich auch kein verfahren außer probieren kenne mit dem ich die Matrize rausbekomme würde.

doch kennst Du ;-) Schreibe die Matrizengleichung zunächst mal vollstädig hin, inklusive der bereits transponierten Matrix \(D\)$$\lambda\cdot \begin{pmatrix}3& -1\\ -5& {\color{red}0}\\ -2& {\color{blue}4}\end{pmatrix}+ \mu\cdot \begin{pmatrix}-2& 3\\ 4& {\color{red}-2}\\ -1& {\color{blue}0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0& -7\\ -2& {\color{red}6}\\ 7& {\color{blue}-8}\end{pmatrix}$$dort steht jetzt nicht eine Gleichung, sondern 6. Für jede Position in den Matrizen eine Gleichung. Der Einfachheit halber betrachte nun nur diejenigen, bei denen auf der linken Seiten eine \(0\) auftaucht. Die habe ich oben farblich markiert. Schreibt man diese heraus, ergibt sich:$$\lambda \cdot 0 + \mu\cdot (-2) = 6 \quad \implies \mu=-3\\ \lambda\cdot4+\mu\cdot0 = -8\quad \implies \lambda=-2$$dies ist aber nur genau dann eine Lösung, wenn die Werte auch für alle anderen 4 Gleichungen passen. Z.B. die erste oben links:$$-2\cdot 3 + -3\cdot(-2) = 0\space \checkmark$$Sollte in einem Fall diese Lösung nicht aufgehen, gibt es auch keine Lösung.

Sollten 'nicht genug' \(0\)'en in den Matrizen vorhanden sein, wählt man zwei beliebige Gleichungen aus und erhält ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, was zu lösen ist. In jedem Fall muss aber die Probe bei allen sonstigen Elementen der Matrizen gemacht werden.

Gruß Werner