Funktionenscharen untersuchen: fa(x) = x^3-2ax^2+a^2 x

Question

ich habe mal eine Frage

die Funktion lautet:

f_a(x) = x³-2ax²+a²x               (mit a ∈ ℝ)

Wie bestimmt man allgemein die Extrema und Wendepunkte von f_a in Abhängigkeit von a?

Answer 1

f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2*x

f'(x) = 3x^2 - 4ax + a^2

f''(x) = 6x - 4a

f'''(x) = 6

Extremstelle:

f'(x) = 3x^2 - 4ax + a^2 = 0   |:3, dann pq-Formel

x_1,2 = 2/3*a ± √( (2/3*a)^2 - a^2/3) = 2/3*a ± √(a^2/9) = 2/3*a ± a/3

x₁ = 1/3*a

x₂ = a

Das jetzt noch mit der zweiten Ableitung überprüfen. Das überlasse ich Dir. Für die Extrempunkte in f(x) wieder einsetzen.

Wendestelle:

f''(x) = 6x-4a = 0  |+4a, dann durch 6

x = 2/3*a

Das ist eine Wendestelle, da f'(2/3*a) ≠ 0. Für den y-Wert in f(x) einsetzen.

Grüße

Comments

So, hier ist meine Lösung (bitte korrigieren):

bei den Extremstellen:

hinreichende Bedingung:

f_a '' (a) = 6a-4a ≠ 0

f_a '' (a) = 2a ≠ 0

Wenn a größer 0, dann ist es ein Tiefpunkt bei x=a TP(a/f(a)) (Habe den y-Wert nicht herausbekommen)

Wenn a kleiner 0, dann ist es ein Hochpunkt bei x=a HP(a/f(a))

Das habe ich dann auch bei x=1/3a gemacht:

f_a '' (1/3a) = -2a ≠ 0

Wenn a größer 0, dann ist es ein Hochpunkt bei x=1/3a TP(1/3a/f(1/3a))

Wenn a kleiner 0, dann Tiefpunkt bei x=1/3a/f(1/3a))

Kannst du mir die y-Werte berechnen?

bei den Wendepunkt:

hinreichende Bedingung:

f_a ''' (2/3a) = 6 ≠ 0

6 ist größer 0 und somit ein links-rechts Wendepunkt

WP (2/3a/f(2/3a))

Auch hier bitte y-Wert ausrechnen

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Yup, sieht gut aus! Sehr gut ;).

Bsp.: f(a)

f(x) = x³ - 2ax² + a²*x

f(a) = a^3 - 2*a*a^2 + a^2*a = a^3 - 2a^3 + a^3 = 0

Damit also P(a|0) und je nach a ist das ein Tief- oder Hochpunkt ;).

Die beiden anderen überlasse ich Dir.

Einverstanden?