Funktionenscharen: gemeinsamer Punkt bei fa(x) = x^3 - 3a^2 x^2

Question

ich bin hier nur noch am fragen, deshalb entschuldigt mich bitte, wenn ich noch etwas fragen möchte... 
 Man hat die Funktionenschar f_a(x) = x³ - 3a²x² 
 Wie kann man zeigen, dass alle Funktionen der Schar genau einen gemeinsamen Punkt haben?
 Wie kann man rechnerisch zeigen, dass jede Funktion der Schar einen Hochpunkt und eine  Tiefpunkt hat? 
 Wie kann man rechnerisch zeigen, dass W(a²/-2a⁶) der einzige Wendepunkt ist? 
 
Zu der nächsten Funktion: f_a(x) = 2x³ - 3kx² + k³ 
  Wie kann man zeigen, dass für k ≠ 0 alle Funktionen die x-Achse berühren (Anmerkung: "Berührpunkt" -> Funktionswerte und Steigung gleich! Keine Schnittpunkte!!!) Ich hoffe ihr könnt mir helfen... P.S.: Bitte nicht (nur) die Lösung hinschreiben, sondern bitte auch erklären, da mir Lösungen alleine in der Klausur nichts nützen! Danke

Answer 1

Wie kann man zeigen, dass alle Funktionen der Schar genau einen gemeinsamen Punkt haben?

fa(x) = fb(x)
x^3 - 3·a^2·x^2 = x^3 - 3·b^2·x^2
x = 0

Wie kann man rechnerisch zeigen, dass jede Funktion der Schar einen Hochpunkt und eine  Tiefpunkt hat?

fa'(x) = 0
3·x^2 - 6·a^2·x = 0
x = 2·a^2 ∨ x = 0
Für a = 0 haben wir hier einen Sattepunkt und keinen Hoch und Tiefpunkt. Aber ansonsten hat eine Funktion 3. Grades mit 2 Stellen deren Ableitung 0 wird immer einen Hoch und Tiefpunkt.

Wie kann man rechnerisch zeigen, dass W(a²/-2a⁶) der einzige Wendepunkt ist? 

fa''(x) = 0
6·x - 6·a^2 = 0
x = a^2

Hier gibt es nur diese eine Stelle und ansonsten keine.

Comments

Wie kann man zeigen, dass für k ≠ 0 alle Funktionen die x-Achse berühren

f(x) = 2·x^3 - 3·k·x^2 + k^3

f(x) = 0
2·x^3 - 3·k·x^2 + k^3 = 0
x = - k/2 ∨ x = k

f(x) = 2·x^3 - 3·k·x^2 + k^3 = 2·(x - k)^2·(x + k/2)

Wir haben eine Berührstelle bei k und eine Schnittstelle bei -k/2

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Wie hast du denn das nach x aufgelöst?

2·x³ - 3·k·x² + k³ = 0 
x = - k/2 ∨ x = k 

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Mathecoach hat bestimmt gesehen, dass x=k eine Lösung sein muss und dann eine Polynomdivision gemacht.

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meine Version für
f ( x ) = 2·x³  -  3·k·x²  +  k³
Stellen mit waagerechter Tangente
f ´ ( x ) = 6 * x^2 - 6 * k * x
6 * x^2 - 6 * k * x = 0
x^2 - k * x = 0
x * ( x - k ) = 0
x = 0
x - k = 0
x = k
Koordinanten
f ( 0 ) = k^3
f ( k ) = 2 * k³  -  3* k* k²  +  k³
f ( k ) = 0
( k  | 0 ) ist also  ein Berührpunkt mit der x-Achse

Falls k = 0 dann ist f ( 0 ) die x-Achse.
Deshalb wurde der Fall ausgeschlossen.