Spiegelebene zwischen zwei Punkten bestimmen.

Question

ich habe folgende Aufgabe gelöst. Jedoch ist meine Lösung anders, als die im Lösungsheft. Sind beide Lösungen möglich?

Hier die Aufgabe:

Die Ebene E ist Spiegelebene zwischen A( 1| 4| 7) und B( 3| 2| 3).

Ich stelle euch nun mein Lösungsvorschlag vor und dann die des Mathebuches.

1.  Mitte zwischen A u. B bestimmen<

        ->            ->
M = OA + 0,5AB = ( 2| 3| 5)

Nun suche ich zum Vektor AB, ( 2| -2| -4), zwei Normalenvektoren, die dann die Richtungsvektoren

v und u der Ebene E werden sollen. Also:

2v₁-2v₂-4v₃ = 0   und

2u₁-2u₂-4u₃ = 0

Hier habe ich beliebige Zahlen für v und u gesetzt, sodass es eine Lösung gibt.

Für v (-1| 1| -1) und für u ( 2| 4| -2)

Daraus mache eine Paramterform der Ebene:

    ->
E: x = (2| 3| 5) + s(-1| 1| -1) + t(2| 4| -2)

Daraus die Koordinatenform:  2x₁- 4x₂-6x₃ =

Ich habe M ( 2| 3| 5) eingesetzt. Also 2x₁- 4x₂-6x₃ = -38

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Das Mathebuch gibt mir folgende Lösung:

0,5 * Vektor AB = Vektor n = ( 1| -1| -2)

Für Vektor p ergibt sich

p = OA + 0,5 AB = ( 2| 3| 5)

Einsetzen in die Punkt-Normalenform ergibt

 x₁- x₂-2x₃ = 11

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Zurück zur Frage:

Sind beide Lösungen möglich?

MfG

Cihan 

Comments

Hi, die beiden Koordinatengleichungen beschreiben nicht die gleiche Ebene, mindestens eine wird wohl falsch sein. Deine Gleichung kannst Du noch durch 2 teilen. Deine Rechnung habe ich nachgerechnet und noch keinen Fehler gefunden. Hingegen erfüllt die Buchlösung die Probe nicht, M liegt nicht auf der Ebene.

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Ich vermute, Du hast Dich beim Spannvektor u( 2| 4| -2) vertan. Der steht nicht senkrecht zum Vektor AB. Versuch es mal mit u ( 0| 4| -2).

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Danke Gast hh914. Genau das war mein Fehler. 

Nun habe ich es richtig.

Answer 1

A( 1| 4| 7) und B( 3| 2| 3)

AB = (2,-2,-4) oder kürzer (1,-1,-2)    ist Normalenvektor auf E.

Ansatz Ebenengleichung: E: x -y -2z = d

Nun fehlt noch ein Punkt auf E.

M_AB ((1+3)/2, (4+2)/2, (7+3)/2) = M_AB(2,3,5) muss auf E liegen.

Diesen in E: x-y-2z = d einsetzen.

2 - 3 - 10 = d 

-11 = d

Das ergibt bei mir

E: x-y-2z = -11

Ich habe also ein Minus vor der Elf, die du im Mathebuch nicht hast (?).

Comments

Es darf aber nur eine Lösung geben. 

Dein 2x₁- 4x₂-6x₃ = -38  kannst du mit der Lösung vergleichen, wenn du es durch 2 teilst.

x-2y-3z = -19

und das ist nicht dasselbe wie x-y-2z= 11 oder -11.

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Deine Antwort ist richtig. Ich habe vergessen ein Minus zu setzten.
Im Mathebuch steht also dieselbe Lösung.

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Danke. Das ist beruhigend. Und deinen Fehler hast du nun ja dank hh914 auch gefunden.