Symmetriebene zwischen zwei Punkten in Normalvektorform angeben

Question

Ich bräuchte die Symmetrieebene zwischen den Vektoren A(3|-2|4) und B(1|6|2) in Normalvektorform.

Um den Mittelpunkt zwischen A und B zu berechnen, habe ich den Vektor AB mit 1/2 multipliziert und bekam für den Normalvektor (-1|4|-1) raus. Weiter wüsste ich nicht. Welchen Punkt soll ich für die Normalvektordarstellung nehmen?

Lösung: E: (1|-4|1)*n=-3

Wie komme ich zu diesem Ergebnis? Wieso ist mein Normalvektor ähnlich zu dem in der Lösung, nur mir vertauschten Vorzeichen?

Comments

Vielleicht haben die Musterlöser einfach den Vektor BA statt den Vektor AB als Normalenvektor bevorzugt?

Answer 1

ich schreibe Vektoren in Zeilenform.

die Symmetrieebene verläuft durch den Mittelpunkt M der Strecke AB:

  \(\overrightarrow{m}\) = 1/2 * ( \(\overrightarrow{a}\) + \(\overrightarrow{b}\)) →  M ( 2 | 2 | 3 ) 

Als Normalenvektor kann man 1/2 * \(\overrightarrow{AB}\) nehmen:

\(\overrightarrow{n}\) = \(\overrightarrow{b}\) - \(\overrightarrow{a}\) = 1/2 * ( -2 | 8 | -2 ) = ( -1 | 4 | -1)

Ebengleichung:  ( -1 | 4 | -1) * \(\overrightarrow{x}\)  =   ( -1 | 4 | -1) * ( 2 | 2 | 3 )  

( -1 | 4 | -1) * \(\overrightarrow{x}\)  =  3 

Gruß Wolfgang

 

Answer 2

Weiter wüsste ich nicht. Welchen Punkt soll ich für die Normalvektordarstellung nehmen? 

Nimm den Mittelpunkt M zwischen 

A(3|-2|4) und B(1|6|2) .

Es gilt M((3+1)/2 | (-2+6)/2 | (4+2)/2 ) = M(2| 2| | 3)  wenn ich mich nicht verrechnet habe. 

Arbeite ruhig mit deinem Normalenvektor. Das passt dann schon.