Vektorgeometrie. Punkt auf g:(x/y/z )=(3/-2/2) + t(1/-1/2); von A(-1/2/1) und B( 3/4/-7) gleicher Abstand

Question

Welcher Punkt auf der Geraden g: ( x / y / z )= ( 3 /-2 / 2) + t ( 1 /-1 / 2) hat von A( -1 / 2 / 1) und B( 3/ 4 / -7) den gleichen Abstand
Danke euch für eure Hilfe :)

Answer 1

g: [3, -2, 2] + t·[1, -1, 2] = [t + 3, -t - 2, 2·t + 2]

([t + 3, -t - 2, 2·t + 2] - [-1, 2, 1])^2 = ([t + 3, -t - 2, 2·t + 2] - [3, 4, -7])^2
([t + 4, -t - 4, 2·t + 1])^2 = ([t, -t - 6, 2·t + 9])^2
6·t^2 + 20·t + 33 = 6·t^2 + 48·t + 117
- 28·t - 84 = 0
t = -3

g: [(-3) + 3, -(-3) - 2, 2·(-3) + 2] = [0, 1, -4]

Answer 2

Also um den Abstand d zweier Vektoren a, b mit 3 Einträgen zu bestimmen, rechnet man

$$ d = | \vec{a} - \vec{b} | =  | \vec{c} | = \sqrt{ (c_1)^2 + (c_2)^2 + (c_3)^2 } \ . $$

Dich Interessiert ja jetzt der Abstand zwischen Funktion g und A und zwischen Funktion g und B. Also berechnen wir zuerst jeweils die Differenz:

$$ g(t) - A = \begin{pmatrix} (3 + t) -  (-1) \\ (-2 -t) - 2 \\ (2 + 2t) - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + t \\ -4 - t \\ 1 + 2t \end{pmatrix} \ . $$

$$ g(t) - B = \begin{pmatrix} (3+t) - 3 \\ (-2-t) - 4 \\ (2 + 2t) - (-7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -6 - t \\ 9 + 2t \end{pmatrix} \ .$$

Und nun den Abstand:

$$d_A = | g(t) - A | = \sqrt{ (4+t)^2 + (-4 - t)^2 + (1+2t)^2 } = \sqrt{ 16 + 8t + t^2 + 16 + 8t + t^2 + 1 + 4t + 4t^2} = \sqrt{6t^2 + 20t + 33} \ .$$

$$ d_B = | g(t) - B | = \sqrt{ (t)^2 + (-6-t)^2 + (9+2t)^2 } = \sqrt{ t^2 + 36 + 12t + t^2 + 81 + 36t + 4t^2 } = \sqrt{ 6t^2 + 48t + 117 } \ . $$

Da wir nun die beiden Abstände, welche von t abhängig sind, kennen, können wir sie gleichsetzen, da es sich ja laut Aufgabe um denselben Anstand handelt:

$$ d_A = d_B \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{6t^2 + 20t + 33} = \sqrt{ 6t^2 + 48t + 117 } \quad | quadrieren$$

$$ \Rightarrow \quad 6t^2 + 20t + 33 = 6t^2 + 48t + 117 $$

$$ \Leftrightarrow \quad 84 = 68 t \quad \Leftrightarrow \quad t = \frac{21}{17} \ . $$

Wir haben ein Wert für t raus, also gibt es auch nur einen Punkt auf der Geraden zu den die beiden anderen Punkte A und B denselben Abstand haben. Um den gesuchten Punkt zu erhalten, musst du lediglich den Wert für t in die Geradengleichung einsetzen und berechnen:

$$g \left( \frac{21}{17} \right) = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{21}{17} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 21/17 \\ - 21/17 \\ 42/17 \end{pmatrix}$$

$$ = \begin{pmatrix} 72/17 \\ - 55/17 \\ 76/17 \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} 4,24 \\ - 3,24 \\ 4,47 \end{pmatrix} \ .$$

Comments

Ich glaube du hast bei

84 = 68t

einen kleinen Fehler. Du wolltest sicher 48t subtrahieren und nicht addieren.

---

Leider ist mir im Nachhinein ein Rechenfehler aufgefallen, allerdings kann ich meinen Beitrag nicht mehr editieren. Sobald ich die Abstände gleichsetze und berechne, muss es heißen:

$$d_A = d_B \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{6t^2+20t+33} = \sqrt{6t^2+48t+117} \quad | quadrieren$$

$$ \Rightarrow \quad 6t^2+20t+33 = 6t^2+48t+117$$

$$ \Leftrightarrow \quad 84 = 28t \quad \Leftrightarrow \quad t = 3 \ . $$

Wir haben ein Wert für t raus, also gibt es auch nur einen Punkt auf der Geraden zu den die beiden anderen Punkte A und B denselben Abstand haben. Um den gesuchten Punkt zu erhalten, musst du lediglich den Wert für t in die Geradengleichung einsetzen und berechnen:

$$ g (3) = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 6 \end{pmatrix} $$

$$ = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 8 \end{pmatrix} \ . $$

---

Echt doof, dass es keine Vorschau seines Beitrags gibt. Da das ganze nur für Verwirrung sorgt, vergiss bitte meinen Beitrag.

---

@Yukawah: Ja. Die paar Minuten, die man zum Korrigieren von so was hat, reichen leider selten. Du musst das Zeugs das nächste Mal wohl aufteilen.

Hier noch ein Link zu einer Vorschau, die anscheinend was bringt: https://www.matheretter.de/rechner/latex