eine Normalenform der Ebene wäre dann:
\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\) - 4/3 = 0
(Bei Mathef rechne ich nur dann nach, wenn wir mal - was sehr selten vorkommt - ein verschiedenes Ergebnis haben :-))
Die Lotgerade durch P(1|3|3) hat dann - weil sie auf der Ebene senkrecht steht - den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor und die Gleichung
\(\vec{x}\) = \( \begin{pmatrix} 1 \\3 \\ 3 \end{pmatrix}\) + λ • \( \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
Den Geradenterm setzt man dann in die Ebenengleichung für \(\vec{x}\) ein:
\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) • [ \( \begin{pmatrix} 1 \\3 \\ 3 \end{pmatrix}\) + λ • \( \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ] - 4/3 = 0
Jetzt kannst du das zum Lotfußpunkt L gehörende λL ausrechnen und in die Lotgerade einsetzen,
Dann hast du den Ortsvektor des Lotfußpunktes L.
Gruß Wolfgang