Lotpunkt Abstand und Ebene

Question

Aufgabe:

$$\vec{f}(\vec{t}) := {(1 - {t}_{1}, {t}_{1}, 2 \cdot {t}_{2} - {t}_{1})}^{tr}$$

$$\omega = {(0,0,1)}^{tr}$$

Formel für den Lotpunkt:

$${\omega}_{L} = \vec{b} + M \cdot {(G(M))}^{-1} \cdot {M}^{tr} \cdot (\vec{\omega} - \vec{b})$$

$${\omega}_{L} = \frac{1}{8} \cdot \sqrt{32} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}$$

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, ich weiss nicht wie ich alle Elemente in ein 3-Dimensionales Koordinatensystem zeichne.

Auch $$\omega, {\omega}_{L}$$

Das bestimmen von $${\omega}_{L}$$

ist dabei nicht das Problem

Comments

Hallo

 ausser der Ebene, die anscheinen t1,t2 aus R als Parameter hat ist keine deiner Buchstaben erklärt, was ω sein soll, von was der Lotfußpunkt,  was die Buchstaben in deiner Gleichung sein sollen?

 gibts eine Originalaufgabe?

Gruß lul

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Hatte den Abstand zwischen omega_L und omega angegeben, der ist ja skalar.

das Omega_L ist der Lotfußpunkt und der sollte eigentlich ein Vektor sein:

Dabei zeigt Omega_L natürlich 90° zum Lot omega

also

$$\omega_L = \frac{1}{8} \cdot \begin{pmatrix} 4\\4\\8 \end{pmatrix}$$

Und der Abstand war

$$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}$$

Answer 1

Hallo

 die Ebene kannst du zeichnen, wenn du 3 Punkte hast, am einfachsten die Schnitte mit den Achsen dazu z.B für die x -Achse y=z=0 setzen daraus t1 und t2

 entsprechend für die anderen Achsen. oder einfach 3 Punkte der Ebene: erster t1=t2=0 zweiter t1=1 t2=0 dritter t1=0 t2=1, oder drei andere Punkte, das sind nur die einfachsten. ω ist einfach an der Stelle 1 der z-Achse, dein ωL kenn ich nicht aber du, wo liegt dann deine Schwierigkeit?

Comments

Was ist denn z.b wenn die Ebene die Achsen gar nicht schneidet ?

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Kannst du das denn anhand der Aufgabe das verdeutlichen.

Also ich weiss ich ja das ich die Schnittpunkte ausrechnen muss.

Einfach mal als Beispiel: Wie würde man hier vorgehen.

Vielen Dank schon mal für deine Hilfe 

Answer 2

Geht das nur um das skizzieren. Die Ebene kannst du über die Spurgeraden einzeichnen. Das sind die Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen.

Das würde dann so aussehen:

Comments

Kannst du das einmal rechnerisch zeigen.

Das Ploten wollte ich eigentlich vermeiden.

Einfach mal als Beispiel an der Aufgabe.

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Problem/Ansatz:

Das Problem ist, ich weiss nicht wie ich alle Elemente in ein 3-Dimensionales Koordinatensystem zeichne.

Das Zeichnen schien aber dein Problem zu sein. Zum Rechnen vgl. andere Antwort und  Kommentare.

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Da lul es rechnerisch lösen würde, habe ich ja dann gesagt wie wäre es dann als Beispiel an der Aufgabe.

Schon den ganzen Verlauf lesen.

Nichts desto trotz ist das ja egal, solange man es zeichnen kann.

Ob nun rechnerisch oder zeichnerisch.

Jetzt sagst du irgendwas von einer Spurgeraden.

Wie wäre es denn am einfachsten zu zeichnen/rechnen.

Die Spurgerade wurde nur mal kurz erwähnt.

Könnte man denn nicht die Ebene direkt zeichnen.

Z.b aus Stützvektor und dann in alle Richtungen von dort aus ?

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Ich könnte es nicht mit deiner Formel machen, weil ich die nicht kenne, es sei denn du stellst dazu etwas zur Verfügung.

Die Ebene in Koordinatenform lautet

x + y = 1

Damit wäre der Normalenvektor n = [1, 1, 0]

Nun bildet man eine Gerade über den Punkt w und dem Normalenvektor

X = [0, 0, 1] + r * [1, 1, 0] = [r, r, 1]

und bildet den Schnitt mit der Ebene

r + r = 1 → r = 0.5

Damit ist der Lotfußpunkt

F = [0.5, 0.5, 1]

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Könnte ich denn nicht aus obiger Funktion das einfach mal anders hinschreiben:

$$\vec{f}(\vec{t}) = \begin{pmatrix} -1\\1\\-1 \end{pmatrix} \cdot {t}_{1} + \begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix} \cdot {t}_{2} + \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}$$

Dann ist ja mein letzer Vektor(ohne t als Faktor), doch mein Sützvektor oder?

Weil dann könnte ich doch die Ebene direkt einzeichnen oder?

Die Frage ist wie geht man da genau vor ?

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Du zeichnest eigentlich Ebenen grundsätzlich über die Spurpunkte und die Spurgeraden ein. Das machst du auch damit du es im Koordinatensystem besser sehen kannst. Stell dir mal vor ich hätte die Geraden weggelassen. Dann hätte man gar nichts mehr sehen können wo die Ebene sein soll.

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Würde es denn für eine grobe Skizze ausreichen ?

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Weil das mit den Spurpunkten und Spurgeraden hatten wir nämlich nicht.

Jedoch wurde das mit den Achsenschnittpunkten thematisiert.