Lotfußpunkt und Abstand bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt \( P(-8|9| 0) \) zu der Geraden

\( g:\space \vec{x}=\left(\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -5\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{r}3 \\ -3 \\ -4\end{array}\right), \quad t \in \mathbb{R} \)

Bestimmen Sie zunächst den Lotfußpunkt \( L \) des Punktes \( P \) auf der Geraden \( g \).

Wie groß ist der Abstand \( d(P, g) \) von \( P \) zu \( g \) ?

Problem/Ansatz:

Lösung + Lösungsweg wäre sehr hilfreich.

Answer 1

Aloha :)

Der Lotfußpunkt \(L\) liegt auf der Geraden \(g\) und der Vektor \(\overrightarrow{LP}\) muss senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen. Wir nehmen an, wir hätten das passende \(t_L\) zum Lotfußpunkt bereits gefunden, dann muss formal gelten:$$\left[\overbrace{\underbrace{\left(\begin{array}{r}-8\\9\\0\end{array}\right)}_{=\vec p}-\underbrace{\left(\left(\begin{array}{r}2\\3\\-5\end{array}\right)+t_L\left(\begin{array}{r}3\\-3\\-4\end{array}\right)\right)}_{=\vec\ell}}^{=\overrightarrow{LP}}\right]\cdot\left(\begin{array}{r}3\\-3\\-4\end{array}\right)=0$$Wir multiplizieren die 3 Vektoren in der eckigen Klammer mit dem Richtungsvektor außerhalb:$$-51-\left(17+t_L\cdot34\right)=0\implies-68-34\cdot t_L=0\implies t_L=-2$$Damit haben wir den Lotfußpunkt gefunden:$$\vec\ell=\left(\begin{array}{r}2\\3\\-5\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{r}3\\-3\\-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-4\\9\\3\end{array}\right)\quad\text{bzw.}\quad L(-4|9|3)$$

Der Abstand \(d\) des Punktes \(P\) von der Geraden ist gleich der Länge des Vektors \(\overrightarrow{LP}\):$$d=\left\|\overrightarrow{LP}\right\|=\left\|\vec p-\vec \ell\right\|=\left\|\left(\begin{array}{r}-4\\0\\-3\end{array}\right)\right\|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$

Comments

Sehr hübsch :)

Answer 2

Abstand: d = 5

Lotfußpunkt: t = -2