Abstand-Punkt-Ebene (Hessische Normalform sowie Lotfußpunkt)

Question

könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen?

A2) Gegeben sind die Ebene E: \frac { 1 }{ 3 } *\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) *\xrightarrow { r } =\quad \frac { 4 }{ 3 }  und der Punkt P= (1,3,3)

Berechne den Abstand dist(P;E) des Punktes P von der Ebene E, sowie den Lotfußpunkt P* von P.

Könnt Ihr mir witerhelfen?

PS: Die Ebene E liegt soll laut meinem Professor schon in der Hessischen Normalform vorliegen, jedoch ist mir  die Ebenengleichung, wie sie in der Aufgabenstellung vorliegt, nicht bekannt und ich habe nichts im Internet gefunden. (Zur Vorlesung liegt kein Skript vor)

>>MFG<<

Comments

Korrektur zur Formel:

 A2) Gegeben sind die Ebene E: $$\frac { 1 }{ 3 } *\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) *\xrightarrow { r } =\quad \frac { 4 }{ 3 }$$ und der Punkt P= (1,3,3)

Hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.

PS: Irgenwie hat das mit dem Formeleditor nicht richtig funktoniert -.-

>>MFG<<

Answer 1

Der Normalenvektor hat die Länge 1, also in der Tat HESSE-Form

(n ix hessisch, der Mann hieß Hesse).  Allerdings die 4/3 mit auf die

linke Seite bringen.

Dann einfach den Punkt für r einsetzen und rechts kommt statt der 0 dann der

Abstand voP zur Ebene raus, jedenfalls wenn man den Betrag von der Zahl nimmt.

Comments

Leider habe ich das gerade nicht ganz verstanden. $$\frac { 1 }{ 3 } *\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix} \right) *\quad \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \right) -\frac { 4 }{ 3 } =\quad d\quad ?$$

Muss ich nicht die Hesseform in die Koordinatenform umwandeln? Was soll ich weiterrechnen, soll ich aus den beiden Vektoren ein Skalarprodukt bilden und mit den anderen Faktoren verrechnen? PS: Sorry wenn ich das gerade nicht ganz so verstehe, aber du deine Erklärung macht für mich im Moment leider nur bedingt viel Sinn >>MFG<<

Answer 2

eine Normalenform  der Ebene wäre dann:

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\)  - 4/3  = 0

(Bei Mathef rechne ich nur dann nach, wenn wir mal - was sehr selten vorkommt - ein verschiedenes Ergebnis haben :-))

Die Lotgerade durch  P(1|3|3) hat dann - weil sie auf der Ebene senkrecht steht - den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor und die Gleichung

\(\vec{x}\)  =  \( \begin{pmatrix} 1 \\3 \\ 3 \end{pmatrix}\)  +  λ • \( \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 2 \end{pmatrix}\) 

Den Geradenterm setzt man dann in die Ebenengleichung für  \(\vec{x}\) ein:

\( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\) •  [ \( \begin{pmatrix} 1 \\3 \\ 3 \end{pmatrix}\)  +  λ • \( \begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 2 \end{pmatrix}\) ]  - 4/3  = 0

Jetzt kannst du das zum Lotfußpunkt  L gehörende λ_L ausrechnen und in die Lotgerade einsetzen,

Dann hast du den Ortsvektor des Lotfußpunktes  L.

Gruß Wolfgang