Die Wurzel aus einer imaginären Zahl: √(3i)

Question

Hey :-)

Ich bearbeite gerade eine weitere Gleichung, in der die Zahl √(3i) enthalten ist (i ist also unter der Wurzel).
Meine Frage ist, wie zieht man die Wurzel aus einer imaginären Zahl?

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Florean

Comments

Wurde denn die Polarform inzwischen eingeführt?

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Hi Lu, nein bisher noch nicht, daher bin ich verwirrt :-/

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Dann sollte dein Ansatz 

z=x+iy sein:

(x+iy)^2  = 3i       

Ist eine Gleichung mit Real- und Imaginärteil. Teile die beiden im richtigen Moment in zwei Gleichungen auf. So kannst du zwei x- und zwei zugehörige y-Werte finden.   

Answer 1

Fortsetzung des Kommentars:

Dann sollte dein Ansatz 

z=x+iy sein:

(x+iy)²  = 3i       

Ist eine Gleichung mit Real- und Imaginärteil. Teile die beiden im richtigen Moment in zwei Gleichungen auf. So kannst du zwei x- und zwei zugehörige y-Werte finden.   

x^2 + 2xyi - y^2 = 3i + 0

Realer Anteil

x^2 - y^2 = 0 ==> x = ±y

Imaginärer Anteil

2xy = 3      . 

x = y einsetzen

2x^2 = 3 

x = ±√(3/2). Dazu dann y = ±√(3/2)

Lösungen: 

z1 = √(3/2) + i√(3/2) , 

z2 = - √(3/2) - i√(3/2) 

x=-y einsetzen

-2x^2 = 3 gibt keine weiteren Lösungen.

Answer 2

Wenn Polarkoordinaten nicht bekannt sind gibt es noch die zu Fuß Methode:

Ist die Komplexe Zahl a+ib eine Wurzel won 3i so muss gelten (a+ib)²=3i,

ausgerechnet: (a²-b²)+2abI=3i.

Vergleicht man Real- und Imaginärteil beider Seiten so ergeben sich zwei Gleichungen für a und b.

Diese kann man lösen.

Answer 3

Wurzeln aus komplexen Zahlen: Polarform (Euler) bilden. Betrag wurzeln Winkel durch Wurzelexponenten teilen Mehrfachlösungen beachten !!! wiki gucken - da ists ausführlich erklärt

Answer 4

Es gilt bekanntlich \( i = \sqrt{-1} \). Erinnere dich an die Wurzelgesetze ;-). 

Gruss

Comments

Ach dann war mein gedachter Ansatz wahrscheinlich doch richtig.

Ansatz: i = √(-1); Somit folgt: √(3√-1); und schließlich: (4)√(3i) (Vierte Wurzel aus 3i).

Naja aber dann steht doch wieder eine imaginäre Zahl unter der Wurzel.. :-/

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Wieso hält sich dieser Unsinn eigentlich immer noch? Diese "Definition" erzeugt massive Pobleme und sollte daher nicht verwendet werden. Die sinnvolle Dedfinition für i ist: i²=-1

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"Es gilt bekanntlich \( i = \sqrt{-1} \)." eigentlich ist die Definition i^2=(-1) Beim Wurzeln gibt es mehrere Lösungen !!!

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Habe ich i definiert?! Nein!! Die Gleichung ist nicht falsch!! Von einer Definition war nie die Rede.

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Und wie definierst du denn \(\sqrt{-1}\) ?

Wie hättest du denn die Gleichung gerne aufgefasst?

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Ich definiere(!) i genauso wie du: i² = -1. Und √(-1) ist i, aber - √(-1) auch. 

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Da der Fragesteller offenbar einen Teil seiner Aufgabenstellung verraten hat, entnehme ich daraus, dass er eine vierte Wurzel braucht. Wenn er \sqrti=-1 annimt, kippt er 3 Lösungen über Bord und reduziert seine Lösungsmenge. Also bitte komplexe Wurzel schön brav nach Gebrauchsanweisung ziehen, sonst ist es unvollständig.

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Damit gilt also \( -i=\sqrt{-1}\) und \( i= \sqrt{-1} \) also i=-i.

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Das ist ja mein Problem. Ich habe noch NIE die Wurzel aus imaginären Zahlen gezogen. Im Buch wurde dies auch noch nicht behandelt, daher auch die Frage.

Die Aufgabe ist: z = (-√(3)i - 2) (2 + √(3i)).
Um das ganze lösen zu können muss ich doch erst einmal √(3i) umformen?

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@ Legen...Där: "Und √(-1) ist i, aber - √(-1) auch. "

Wenn das wirklich so wäre, \(i=\sqrt{-1}\) und \(i=-\sqrt{-1}\), dann wäre \(\sqrt{-1}=i=-\sqrt{-1}\), also \(\sqrt{-1}=-\sqrt{-1}\). Jetzt auf beiden Seiten der Gleichung durch \(\sqrt{-1}\) dividieren, dann steht da \(1=-1\). Also kann deine Aussage nicht stimmen.

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@Florean: Tipp, lies dir die richtige Antwort hier durch und nicht die falsche.

Tipp 2: Du postest gerade bei der Falschen.

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z = (-√(3)i - 2) (2 + √(3i)) >>>z =- (√(3)i+ 2) (2 + √(3i))>>> z =- (2 + √(3i)) ^2

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Pleindespoir den Gedanken hatte ich auch, aber in der Gleichung steht einmal √(3i) und einmal √(3)i. Also einmal i außerhalb der Klammer und einmal unter der Klammer.

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Dann ohne Lesefehler:

z =- (√(3)i+ 2) (2 + √(3i))>>> z =- ((√(3)i)^2) +(2  √(3i))  + (2√(3)i)+ (2^2))