Eine Funktion \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) ist an der Stelle \(x\) differenzierbar, wenn
$$ f'(x):= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$
existiert. In diesem Fall existiert der Grenzwert, wenn \(\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) gilt, Vorausgesetzt natürlich, dass diese beiden Grenzwerte ebenfalls existieren.
Anschaulich ist eine Funktion differenzierbar, wenn man eine Tangente einzeichnen kann. Die Tangente zeichnet sich dadurch aus, dass sie im Berührpunkt die selbe Steigung wie die zugrunde liegende Funktion hat.
Wie sieht \(x \mapsto |x|\) bei 0 aus? Kann man eine Tangente einzeichnen?
