Zeigen, dass f nicht differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Man soll zeigen, dass die Funktion f

{x^x für x>0; 1 für x=0

nicht differenzierbar ist.
Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass der grenzwert der ableitung von x^x und 1 übereinstimmen muss, was in dem fall halt nicht ist , nur wie soll man das zeigen?

Die ableitung von x^x ist: x^x*(ln(x)+1), also wird der term nie für x->0 die null erreichen da ln(0) nicht definiert ist. Das reicht glaube ich aber nicht als begründung.

Answer 1

Ich weiß, dass der grenzwert der ableitung von xx und 1 übereinstimmen muss,

Da muss nichts übereinstimmen. \(x^x\) ist für \(x>0\) differenzierbar. Also ist \(f\) für \(x>0\) differenzierbar. Damit \(f\) differenzierbar, reicht es deshalb aus, dass \(f\) an der Stelle \(0\). differenzierbar ist. Dazu genügt es, dass

        \(\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{f(x)-1}{x-0}\)

existiert.

Comments

Warum folgt daraus dass f nicht differenzierbar ist?

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Dazu genügt es, dass

        \(\lim\limits_{x\searrow 0}\frac{f(x)-1}{x-0}\)

existiert.

Genauer gesagt, \(f\) ist genau dann differenzierbar, wenn besagter Grenzwert existiert.

Du musst zeigen, dass der Grenzwert nicht existiert.

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Wenn ich das einsetzte erhalte ich

(x^x-1)/x = (e^(xlogx) -1)/x und für x gegen null würde e^(xlogx gegen 1 gehen, also würde da stehen 0/x was null wäre... was heißt das jetzt?