Zeigen Sie, dass Φ: R^{n×n} → R^{n×n}, t → e^{tA} differenzierbar ist und bestimmen Sie DΦ

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie, dass $$ Φ: R^{n×n} → R^{n×n}, t → e^{tA} $$ differenzierbar ist und bestimmen Sie $$ DΦ $$

Problem/Ansatz:

Komplett verwirrt, wir haben das Matrixexponential umgeschrieben in die Exponentialreihe. Allerdings ist nicht klar wie die Ableitung genau aussehen soll mit den Summenzeichen der Exponentialreihe und wieviele Indizes man braucht (intuitiv wäre $$ Ae^{t*A} $$.) Wie zeigt man es aber mit der Definition, wo man die Summen so umordnet, dass man die Ableitung im linearen Term von h ablesen kann und wie sieht es dann aus?

$$ f(x+h) = f(x) + Ah + ||h||r(h) $$

Comments

Die Aufgabenstellung kommt mir merkwürdig vor: t würde dann eine n-n-Matrix bezeichnen? Was ist A?

Answer 1

Zunächst einmal: \(\Phi\) startet in \(\mathbb R\) und nicht \(\mathbb R^{n\times n}\).

Renés Vorschlag funktioniert gut im Zusammenhang mit der Definition der Differenzierbarkeit.

Wenn \(I\) die \(n\times n\)-Einheitsmatrix bezeichnet, haben wir

$$e^{(t+h)A } - e^{tA } = e^{tA}\left(e^{hA} - I\right) \quad (1)$$

Wir müssen also nur zeigen, dass \(e^{tA}\) an der Stelle \(t=0\) differenzierbar ist und dort die Ableitung \(D\Phi\) berechnen.

Hier kommt die e-Reihe ins Spiel:

$$e^{hA} = I + Ah + \underbrace{\sum_{n\geq 2}\frac{h^{n}}{n!}A^n}_{R(h)}$$

Nun gilt $$\left|\left|R(h) \right|\right| = h^2\left|\left| \sum_{n\geq 2}\frac{h^{n-2}}{n!}A^n \right|\right| \stackrel{|h|\leq 1}{\leq}h^2 \sum_{n\geq 2}\frac{1}{n!}||A||^n \leq h^2e^{||A||}$$

Also gilt \(\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{R(h)}{h} = 0\).

Damit ist \(e^{tA}\) an der Stelle \(t=0\) differenzierbar und \((D\Phi)(0) = A\) und es folgt mit (1), dass \(e^{tA}\) für alle \(t\in\mathbb R\) differenzierbar ist mit

$$(D\Phi)(t) = Ae^{tA}$$

denn

$$e^{(t+h)A} = e^{tA}e^{hA} = e^{tA}\left(I + Ah + R(h)\right)= e^{tA} + Ae^{tA}h + e^{tA}R(h)$$

Wobei \(\left|\left|e^{tA}R(h) \right|\right| \leq e^{t||A||}||R(h)||\stackrel{|h| <1}{\leq}h^2e^{(t+1)||A||}\)

Answer 2

Hey probiere es mal über die Potenzreihe von \( e^{t*A} \) zu zeigen. Also ohne die Definiton